極限

質問

たびたびすいません。もう1つ聞きたいことがあります
注(ax+bは√の中には入ってません)

lim{√(2x^2-3x+4)-(ax+b)}＝０
x→∞
となるような定数a、bの値で

√(2x^2-3x+4)
x√{(2-(3/x)+(4/x^2)}と変形できたので、収束するためにはa>0が1つの条件になるのですが、

分子を有利化すると、

{(2x^2-3x+4)-(ax+b)^2}
----------------------
{√(2x^2-3x+4)+(ax+b)}

となるんですが、ここでひとつ疑問に思いまして、

a>0の範囲だと、分母は0に収束できず、分子は-ax^2-2axより、a>0で0に収束する条件を満たします

分子と分母がそれぞれ0に収束するとき極限値を持つと習ったのですが、よく分かりません。お願いいたします

回答No.2

info22 · ベストアンサー

形式的な解法を理解しないで適用する為に、おかしくなって行き詰まる原因になります。

ちゃんと解法を理解して、順を追ってやっていけば解決できるはずです。

与えられた条件式が成り立つための必要条件はx>>1として
√(2x^2-3x+4)-(ax+b)=x[√{2-(3/x)+(4/x^2)}-a+(b/x)]
x→∞で、上式がゼロに収束するには[]内がゼロに収束しなければならない。
これから √2-a=0 が出てきます。つまり、a=√2

つぎに、分子の有理化をすると
> {(2x^2-3x+4)-(ax+b)^2}
> ---------------------- =
> {√(2x^2-3x+4)+(ax+b)}

{(2x^2-3x+4)-(√2x+b)^2}
-------------------------- =
{√(2x^2-3x+4)+(√2x+b)}

{-(3-2√2b)x+4-b^2)}
------------------------ =
{√(2x^2-3x+4)+(√2x+b)}

{-(3-2√2b)+(4-b^2)/x}
-------------------------------- →
{√(2-(3/x)+(4/x^2)}+{√2+(b/x)}

-(3-2√2b)
---------- (x→∞)
2√2
この収束値がゼロであるから
3-2√2b = 0
これからbも求まりますね。

回答No.1

ojisan7

>分子と分母がそれぞれ0に収束するとき極限値を持つと習ったのですが

誰にそんなことを習いましたか？
たとえば、
(1/x)/{1/(x^2)}
はx→∞で分母と分子がそれぞれ０に収束しますが、
(1/x)/{1/(x^2)}=x
ですから、
(1/x)/{1/(x^2)}
はx→∞で発散します。

補足

加えて質問したいのですが

x→∞では無く、x→1の場合

lim(ax^2+b)/(x-1)
x→1
が収束する場合、分母収束より分子収束・・・a+b=0

b=-a
(ax^2+b)/(x-1)
=a(x+1)

2a=□となって、収束しています。

収束する定義ってのはあるのでしょか？