極限値 問題

質問

極限値　問題

a>0，x>0のとき、e^ax≧1+ax（（a^2・x^2）/2）
であることを用いて、
・lim[x→∞]（x^3）・（e^-x）
・lim[x→∞]logx/x
を求めよ。

解き方が分かりません・・・

似た内容の問題で、lim[x→∞]xe^（-ax）を求めよという
問題は、1/e^ax≦1/（1+ax（（a^2・x^2）/2））として、
lim[x→∞]（1/（1+ax（（a^2・x^2）/2）））=0より
求める方法を教えて頂いたのですが、この方法
ではうまくできません。

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

noname#125931 · ベストアンサー

不等式の右辺を累乗した式からどの項を残すかは、この場合は恣意的でよいと思います。
1+(ax)^2+(ax)^2/4でも大丈夫です。
４次の項だけ取り出してもいい。
実際、元の不等式からe^(2ax)≧(ax)^4/4が言える。
よってe^x≧x^4/64。
よってe^(-x)≦64/x^4。
よって0≦x^3e^(-x)≦64/x→0。

ただし、どんな問題でもこのような「省略」が有効なわけではありません。
正項の多項式の2乗は、そのままの形（全ての項の和）が最も大きな値を持ちます。
だから、そのままの形が下限としては最も効果的です。
ただ、「x^3よりも速く増加する下限を見つける」といった目的があるなら、項を選択する方法が効率的です。

a,b,c≧0なら(a+b+c)^2≧a^2+b^2+c^2は成り立ちます。
左辺の展開は非負の項しか含まないから、どの項でも、それを除いた方が大きくなるということはありません。

お礼

ご回答ありがとうございますm（_　_）m
理解できました。

回答No.6

noname#125931

n>2についても、a,b,c≧0なら(a+b+c)^n≧a^n+b^n+c^nは成り立ちます。

回答No.4

noname#125931

不等式の両辺の逆数を考えるだけではなぜだめか：
e^xの増加の仕方が3次式x^3と比べて十分に急であることを示す必要があります。
そのために用いるのが2次式1+x+x^2/2では不十分です。
もっと次数の高い多項式でe^xを下から抑えるために不等式の両辺を累乗しました。

補足

なるほど了解しました。
ご回答ありがとうございます。
ところで、e^(2ax)≧1+ax^2＋（ax)^4/4としてはいけないでしょうか？
axの項がないのがちょっと不自然です。
1+ax^2＋（ax)^4/4≦（1+x+（1/2）x^2+（1/8）x^3+（1/64）x^4）
となるので。

また、正の項しかない（a+b+c）＾n≧a^n＋b^n＋c^nは常に成り立つの
でしょうか？

以上よろしくお願い致します。

回答No.3

noname#171582

グラフ

回答No.2

noname#125931

補足へ：
展開してそうなるならいいと思います。
前の回答の論理は以下の通りです。
不等式の右辺には正の項しかない。
だから右辺の2乗は1^2+{(ax)^2/2}^2=1+(ax)^4/4以上である。
だからこの式と左辺の2乗の間にも不等式が成り立つ。

より大きいnについてx^ne^(-x)の極限を調べるにはどうしたら良いか：
同じ不等式の両辺を適切な数だけ累乗するといいと思います。
その際、上の議論を用いれば、右辺の2乗を完全に展開する手間は省けると思います。

補足

ご回答ありがとうございます。
累乗のやり方は理解しました。
因みに、2乗せずに、a=1とおいて逆数をとるやり方で解いてみました。
e^x≧1+x+（（ｘ＾2）/2）
→（e^-x）≦1/（1+x+（（ｘ＾2）/2））
0≦（e^-x）≦1/（1+x+（（ｘ＾2）/2））と仮定する。
両辺にx^3をかけると
0≦x^3・（e^-x）≦（x^3）/（1+x+（（ｘ＾2）/2））

このとき方では、分母が0になってしまいうまくいきません。
どこが間違っているのでしょうか？

lim［x→∞］（logx/x）は解けました。

以上、よろしくお願い致します。

回答No.1

noname#125931

(1)不等式の右辺は以前は1+ax+(ax)^2/2だったと思います。
不等式の両辺を2乗することで、e^(2ax)≧1+(ax)^4/4が得られる。
（右辺の2乗が正項だけからなることから確かめられる。）
a=1/2とすれば、以前と同様に示せると思います。

(2)y=logxと定義すればx=e^y。
x→∞のときy→∞なので、以前の問題と同じだと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。

問題を間違えました。仰る通り、
右辺は1+ax+（ax）^2/2です。

（1）について、
なぜ1+ax+（ax）^2/2の2乗が
1+（ax^4）/4となるのでしょうか？
（1+ax+（ax）^2/2）・（1+ax+（ax）^2/2）
を展開してみたのですが、
1+x+（1/2）x^2+（1/8）x^3+（1/64）x^4
となりました。
展開した式をx^3で除すると、
lim[x→∞]（x＾3）/（1+x+（1/2）x^2+（1/8）x^3+（1/64）x^4）=0
となりますが合っているでしょうか？

また、x^5（e^-x）という問題もあるのですが、
lim[x→∞]（x＾5）/（1+x+（1/2）x^2+（1/8）x^3+（1/64）x^4）
はどうなるでしょうか？
1/0となってしまうように思うのですが・・・

お手数ですが、ご回答よろしくお願い致します。