極限の問題です。

質問

極限の問題です。

a,b:定数

lim_(x→0)(1/x^5)(cosx-(1+ax^2)/(1+bx^2))=0となるようにa,bを定めるのですが、

cosxをテイラー展開したものを考えると、
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-(xの6次以上の項)
ここでb＝0のときとb≠0のときに分けて考えたのですが、b＝0の場合は1/xの項が、b≠0の場合は1/x^3と1/xの項が残ってしまい、どちらも極限をとると∞になってしまいます。

これは本当に成立するのですか？
よろしくお願いします。

回答No.2

ninoue · ベストアンサー

単純に次の式を展開し、x^2,x^4の項を-1/2!, 1/4!となるようにすれば良いだけだと思われます。
F=(1+ax^2)/(1+bx^2)
=(1+ax^2)*(1-bx^2+b^2x^4+b^3x^6-...)
=1 +(a-b)x^2 +(...)x^4 +(...)x^6...

なおCOS関数はテイラー展開でも十分速く収斂するので、テイラー展開の4次式を使う場合と比べ、(1+ax^2)/(1+bx^2)の形の式を使うメリットはあまり無いようです。

その他近似式の詳細等が必要であれば次も参照下さい。
http://okwave.jp/qa/q5327333.html　#3
Double Sin(double x) の定義ソース

お礼

理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

b=0 はダメだと思うけど, b≠0 で適切なものがありそうな感じ.
「b＝0の場合は1/xの項が、b≠0の場合は1/x^3と1/xの項が残ってしまい」
というのは, どのような計算をしてそう感じたのでしょうか?

お礼

解決しました。
ありがとうございました。