sinx=aのxの求め方

質問

sinx=aの式でaが分かっているときxの値を求める方法を教えてください。
電卓などは使わず手計算で求める方法です。

回答No.10

178-tall

蛇足を少々。
ANo.4 参照 URL の 2 ページ目 「2 An Elementary Proof」の書き出しにある算式をご覧ください。

sin(x) の倍角勘定
　sin(x) = 2sin(x/2)cos(x/2)
にて、さらに sin(x/2) = 2sin(x/4)cos(x/4) なる倍角勘定して、
　4sin(x/2)cos(x/4)cos(x/2)
とする。

これを繰り返していくと、N = 2^n として、
　sin(x) = x*sin(x/N)/(x/N){ Πcos(x/N) }
が成り立ち、N を増やしていくと、sin(x/N)/(x/N) が 1 に収束。
つまり、右辺 x*sin(x/N)/(x/N){ Πcos(x/N) } が x*{ Πcos(x/N) } に収束する

…というストーリーでした。

回答No.9

staratras

No.6,7,8です。最後にこの方法での誤差について補足します。
10度まで0.5度刻みで、tanθ-θの値を計算し、誤差が何度にあたるかグラフにしてみました。No.6とNo.7に相当する位置に印をつけています。

タンジェントの値が簡単に代数的に計算できる代表的な角度は30度、45度、60度ですが、半角の公式や加法定理などを使えば15度、18度、22.5度、36度、72度、75度などのときの値を求めることも難しくはないので、余角の利用とあわせれば、θの値を3度未満におさえて誤差を0.002744度未満（角度の0.17分未満）にすることも十分可能でしょう。ただθが10度になってしまったとしても誤差は0.1度程度なので概算の役には立つでしょう。

回答No.8

staratras

N0.6＆７です。tanθ≒θ　の近似はθが小さいほど誤差が小さくなりますので、sinxの値が1に近いとき（tanxの値が大きい場合）にはxの余角（直角-x）を計算すると高い精度でxの近似値を求めることができます。

例　sinx=0.9999 のときx=？
cosx=√(1-0.9999^2)=√(1.9999×0.0001)=(√1.9999)/100
∴tanx=100×0.9999/√1.9999≒99.99/√2≒70.7043
y=(π/2)-x とおくと、tany=1/tanx≒1/70.7043≒0.01414
∴ｙ≒0.01414(rad)　180×0.01414/π≒0.81016(度）
∴x≒90-0.81016=89.189848(度）

関数電卓で直接計算すると、x=89.18970856(度）　となりましたので、小数第3位まで正しいことになります。

回答No.7

staratras

N0.6です。この解法は求めたい角度に近い角をうまく見つけて、それを出発点にすれば格段に精度が向上します。

例えば、tan22.5°=√2-1≒0.41421 であることを思いつけば、
x=(π/8)+y とおいてNo.6より１桁下まで計算すると　y≒0.01882(rad)で1.078307度となり
x≒22.5+1.078307=23.578307(度）となるので小数第3位まで正しい値です。

下の開平計算は「完全手計算」である証拠です。

回答No.6

staratras

度数法で小数第１位くらいまでで良ければ、タンジェントの加法定理と、角度が小さい時のtanθ≒θ　という近似を使うだけで手計算で簡単に求められます。

例　sinx=0.4のときx=?
xは第１象限の角とする
sinx=0.4 より　cosx=√(1-0.4^2)=√0.84≒0.9165　だから
tanx≒0.4/0.9165=0.4364

ここでtan30°=tan(π/6)=1/√3≒0.5774 だから　x=(π/6)-y とおける
加法定理より　tanx=tan((π/6)-y)
=(tan(π/6)-tany)/(1+tan(π/6)tany)=0.4364
tan(π/6)≒0.5774 を代入して
(0.5774-tany)/(1+0.5774tany)=0.4364
(0.5774-tany)-0.4364((1+0.5774tany))=0
1.25197tany=0.141 ∴tany≒0.141/1.252=0.1126

tanyの値が小さいのでtanv≒y　で近似するとy=0.1126(rad)
度数法に換算すると、180×0.1126/π≒6.451
したがってx≒30-6.45=23.55 答え　約23.6度
関数電卓で計算すると　arcsin(0.4)=23.57817848 でした。

回答No.5

178-tall

[例解] こんな感じです。

　sin(x) = 0.4000
　　　↓
　cos(x) = √{ 1-sin^2(x) }
　　　　 = 0.917
　　　　　　　　　↓
n　　 m=2^k　 cos(x/m)　　 Π　　　　　x
-　　------　 -------　　　--　　　　 --
0　　　　1　　　0.917
1　　　　2　　　0.979　　　0.979　　　0.409
2　　　　4　　　0.995　　　0.974　　　0.411
3　　　　8　　　0.999　　　0.972　　　0.411
4　　　 16　　　1.000　　　0.972　　　0.411
5　　　 32　　　1.000　　　0.972　　　0.412　(radian)

回答No.4

178-tall

↓ 参照 URL
… の式 (1) を利用して、sin(x) = a なる x の近似値を求める例でも。

sin(x) = a があたえられたら、式 (1) の右辺にて、「半角公式」を使い sin(x) = a
なる x の「半角」の余弦 (cos) 値、さらにその半角値 … と累乗していくと、右辺値
sin(x)/x は 1 に収束していく。
左辺値 sin(x)/x が所望の近似桁数だけ 1 に近似したとき、右辺の累乗数 k=m に達したとすると、
　　　　　 　 m
　1≒a/x = Πcos(x/2^k)
　　　　　 　 1
が成立つから、
　x≒a/Πcos(x/2^k)
なる近似値を得る。

参考URL：

http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/cosine.pdf

回答No.3

info33

sin x=a (-1≦a≦1)
x=arcsin(a)

マクローリン展開による近似式を必要な桁数で打ち切って近似値を求めます。
角度の単位としてラジアンを用いる場合
x=a+(1/6)a^3+(3/40)a^5+(5/112)a^7+(35/1152)a^9+(63/2816)a^11+ ... [rad]

角度の単位として度を用いる場合
x=(180/π){a+(1/6)a^3+(3/40)a^5+(5/112)a^7+(35/1152)a^9
+(63/2816)a^11+ ... }[°]　(πは円周率3.14159265358979 ...)

特殊なaについて
a=1の時 x=π/2 [rad] =90 [°]
a=-1の時　x= -π/2 [rad] = -90 [°]
a=0の時 x=0 [rad] = 0 [°]
a=0.5 の時 x=π/6 [rad] =30 [°]
a= -0.5 の時　x= -π/6 [rad] = -30 [°]
a=√2/2 の時 x=π/4 [rad] =45 [°]
a= -√2/2 の時 x= -π/4 [rad] = -45 [°]
a=√3/2 の時 x=π/3 [rad] =60 [°]
a= -√3/2 の時 x= -π/3 [rad] = -60 [°]

回答No.2

gamma1854

sin(x)=a すなわち、x=arcsin(a), (|a|≦1) ですから、Maclaurin展開を利用し、
x=a + a^3/(2*3) + 3*a^5/(2*2^2*5) + .... +【{1*3*5*...*(2n-1)}/{n!*2^n*(2n+1)}】*a^(2n+1)+...
により、望むところまで正確に計算できます。もちろん|a|は十分小さいときが計算に有利です。

回答No.1

sknbsknb2

a=arcsin(x)
なので、参考URLのマクローリン展開で計算できます。

参考URL：

http://bal4u.dip.jp/daily/archives/2312