sinx+cosx>1+x-(x^2)

質問

ｘ＞０のときに成り立ちます。

普通は、左辺-右辺＞０から証明しますが、マクローリン展開して

sinx+cosx=1+x-{(x^2)/2!}-{(x^3)/3!}+{(x^4)/4!}+{(x^5)/5!}-・・・

sinx+cosx=1+x-(x^2)+{(x^2)/2!}-{(x^3)/3!}+{(x^4)/4!}+{(x^5)/5!}-・・・

ここで第４項以降の和が正であることを示そうとしたのですがうまくいきません。

成立することは明らかなのですが、何かうまい方法はありませんか？

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

「sinx+cosx-(1+x-(x^2))>0を示すのではなく{(x^2)/2!}-{(x^3)/3!}+{(x^4)/4!}+{(x^5)/5!}-・・・>0を示せないか」

sinx+cosx-(1+x-(x^2))>0 　と {(x^2)/2!}-{(x^3)/3!}+{(x^4)/4!}+{(x^5)/5!}-・・・>0 は同じ意味だと思いますけど。

sinx+cosx が嫌なら、F(x) = {(x^2)/2!}-{(x^3)/3!}+{(x^4)/4!}+{(x^5)/5!}-・・・とでも置いて、
F(x) が広義一様就職すること、x>0 で単調増加であること、を順に示せばよいのでは。

回答No.2

ramayana

「級数展開をつかって証明できないか考えています。」

ANo.1 が級数の第４項以降の和が正であることの証明になっていることは、理解できてますよね。

前提条件と結論が同じで、別の証明というのが何を指してるのか、いまいちピンときません。

補足

sinx+cosx-(1+x-(x^2))>0を示すのではなく

{(x^2)/2!}-{(x^3)/3!}+{(x^4)/4!}+{(x^5)/5!}-・・・>0を示せないかということです。

最初の方は微分して単調増加を示せるので簡単ですが

２つめの方は正であるかどうか、最初の式を使わずに示せますか？

回答No.1

ramayana

左辺‐右辺＝f(x) と置けば、x>0 において f''(x)>0 。
よって、f'(0)=0 を考慮し、x>0 において f'(x)>0 。
よって、f(0)=0 を考慮し、x>0 において f(x)>0 。

補足

その証明は理解しています。級数展開をつかって証明できないか考えています。ありがとうございました。