2|sinX|=|cosX|を満たすXの値は何個あ

質問

2|sinX|=|cosX|を満たすXの値は何個あるか(0≦X＜2π)。
この問題の回答解説お願いします。

回答No.4

sunabo

no.1の方針の方がスマートだ。
2❙sinX❙=❙cosX❙ 両辺を❙cosX❙で割る。
2❙sinX/cosX❙=1　両辺を2で割る。
❙sinX/cosX❙=1/2 左辺へ移行
❙sinX/cosX❙-1/2=0
❙tanX❙-1/2=0

場合分け

tanx>0の範囲は、0<x<π/2
tanx<0の範囲は、π/2<x<π
tanx>0の範囲は、π<x<3/2π
tanx<0の範囲は、3π/2<x<2π

0<x<π/2 のとき。
x=0のとき、tanX-1/2=-1/2
X=π/2のとき、tanX-1/2=∞
∞が0より大きいことは、示せないが、分かってくれ！！！！
たのむ！！！＿|￣|○と採点者にドゲザする。
中間値の定理より、間に少なくとも一つ解を持つ。

微分する。(tanX-1/2)'=1/(cosX)^2
2乗なので正　1/(cosX)^2>0
正なので単調増加。
単調増加なので、解を一つだけ持つ。

次の範囲π/2<X<πでは、∞から-1/2で、微分が2乗で負なので、単調減少になる。
解が一つ出る。
あとは、他の2か所に適用すると、解がひとつづつ出る。
合計解が4つ。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7307608.html

回答No.3

sunabo

sinx>0の範囲は、0<x<π
sinx<0の範囲は、π<x<2π
cosx>0の範囲は、0<x<π/2 　3/2π<x<2π
cosx<0の範囲は、π/2<x<3/2π

範囲を4か所に分ける。
0<x<π/2 2sinX=cosX
π/2<x<π　2sinx=-cosx
π<x<3/2π　-2sinX=-cosx
3/2π<x<2π　-2sinX=cosX

それぞれを解く。増減表で。4か所それぞれに一個
交点がること示したい。
0<x<π/2
y=2sinX-cosX
x=0のとき、　y=0-1=-1
x=π/2のとき、y=2-0=2
微分
y'=-2cosx-sinx
三角関数の合成
2^2+1^2=5
Y=-√5(2/√5*cosx-1/√5*sinx)
y=-√5(sinΘcosx-cosΘsinx)=-√5sin(Θ-x)
Θが約26.6°なんだが、0とπ/2の間にあることがうまく示せなくて詰んだ。
いや、増減表と微分は要らないかも。三角関数の合成をするのは正しかろ
う。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/trigonometric24.htm

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

info222_

y=左辺とy=右辺のグラフを描いて0≦X＜2πの範囲内の交点数を求めれば
4個あることがわかる。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

178-tall

>2|sinX|=|cosX|を満たすXの値は…

| tan(X) | = 1/2 を満たす X だろうから各象限に一つずつ … なのでは？

お礼

ありがとうございます！