∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxの解
∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、ｎは自然数とする。
これが解けなくてとても困っています。助けてください。
(1/3)x^3を微分するとx^2になることから、部分積分法で計算すると、
∫[1→e](x^2){(logx)^n}dx=(1/3)e^3-(n/3)∫[1→e](x^2){(logx)^(n-1)}dx・・・・(1)
になりますよね？（計算が合ってる自信はあまりないです‥）また、n=1の時を考えると、
∫[1→e](x^2)(logx)dx=(2e^3+1)/9・・・・(2)
になりました。 (1)と(2)から、n=2の場合を考えると
∫[1→e](x^2){(logx)^2}dx=(1/3)e^3-(2/3)(2e^3+1)/9=(5e^3-2)/27・・・・(3)
になりました。(1)と(3)から、n=3の場合を考えると
∫[1→e](x^2){(logx)^3}dx=(1/3)e^3-(3/3)(5e^3-2)/27＝(4e^3+2)/27・・・・(4)
になりました。(1)と(4)から、n=4の場合を考えると・・・といったように繰り返し計算して、一般項を類推して、数学的帰納法で証明しようとしたのですが、肝心の一般項がうまく類推できません。一般項はなんだと思われますか？そもそもこの解き方で正解にたどり着けるのでしょうか？
もうひとつ質問があります。
ｎ→∞のとき、lim∫[1→e](x^2){(logx)^n}dxを求めよ。
これも解けなくて困っています。一般項がわかれば自然と解けると思うのですが、上記のところで行き詰まっているので、この極限値も得られていません。これにも答えれ頂ければとても助かります。よろしくお願いします。
