(1)1/3<∫{0→1} x^(sinx+cosx)^2 dx

質問

(1)1/3<∫{0→1} x^(sinx+cosx)^2 dx<1/2　　を証明せよ
(2)x+f(x)=1/12∫{0→ｘ} (f''(t))^2 dt f''(0)=2√3　　　の時
　　(a) f(0)およびf'(0)
(b) f(x)の次元
　　(c)f(x)をもとめよ

途中式・経過もありでおねがいします

回答No.2

noname#121794

基本的に積分して等号が成立するというのは
積分区間において常にx^(sinx+cosx)^2=xが成立していること。
x^2≦x^(sinx+cosx)^2≦x
でなく僕が提示したのは
x^2<x^(sinx+cosx)^2≦xです。
だから君がききたいのはx^(sinx+cosx)^2≦xの部分である。

x^(sinx+cosx)^2≦xは等号成立するのは最初にも書いたと思うけどx=0の場合のみ。
0<x≦1のときはx^(sinx+cosx)^2<x。だから[0,1]区間では常にx^(sinx+cosx)^2=xではないため
同区間積分すると=ではない。

回答No.1

noname#121794

丸投げはダメ。少しは分かる所までやってから質問しないといつまで経っても力がつかねえぞ。
(1)
sinx+cosx=√2sin(x＋π/4)よりxが[0,1]区間で
x^2<x^(sinx+cosx)^2≦xでx=0のときのみx^(sinx+cosx)^2=xより
0から1まで積分して1/3<∫{0→1} x^(sinx+cosx)^2 dx<1/2

(2)
f(0)はすぐ分かるもの。x=0とすれば自然に答えが出る
f'(0)もx+f(x)=1/12∫{0→ｘ} (f''(t))^2 を両辺xで微分してx=0とすれば答えが出る

(b)x+f(x)=1/12∫{0→ｘ} (f''(t))^2を2階微分して
2f'''(x)=1が得られるから次元は3　(答え言ってしまったなあ)

(c)
2f'''(x)=1をとけ。ただし初期値に注意

お礼

ありがとうございます。

（２）は解けていたんですが回答に自信がなく（あまりにも簡単すぎて）ききました
（１）についても途中まではでたんですが・・・・
　　　x^2≦x^(sinx+cosx)^2≦x
の式までは出せていて
でもこの不等号の「＝」をはずせないんです
そこだけもう少し詳しく説明してもらえませんか？