a≪xのときの近似

質問

a≪xのとき、
　(1) 1/(a^2+x^2)^(1/2) - 1/x
　(2) x/(a^2+x^2)^(3/2) - 1/(x^2)　　　はどのような値になるでしょうか？

考え方・計算方法も教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

a≪xじゃどうにもなりません。条件は、|a|≪|x|の間違いでしょう。
　式の格好によっていろんな手が使われますが、しかし大抵の場合に通用する一つの定石はマクローリン展開です。
　まず、「xは定数、aが変数だと思う」んです。たとえば
　　f(a) = 1/(a^2+x^2)^(1/2) - 1/x
のように。そして、これをaが小さい時に成立つ近似式で表してやる。
　マクローリン展開は
　　f(a) = f(0) + (f'(0))(a^1)/(1!) + (f''(0))(a^2)/(2!) + (f'''(0))(a^3)/3!) + …
です（「！」は階乗）。
　上記のfをaで微分したものf'、2回微分したものf''、…を計算すると（「xは定数、aが変数だと思う」ことに注意して）
　　f'(a) = -a / ((a^2+x^2)^(3/2))
　　f''(a) =(2(a^2)-x^2) / ((a^2+x^2)^(5/2))
　　f'''(a) = 3a(3(x^2)-2(a^2)) / ((a^2+x^2)^(7/2))
なので、
　　f(0) = 1/|x|- 1/x
　　f'(0) = 0
　　f''(0) = -1/|x|^3
　　f'''(0) = 0
であり、従ってこの場合にはマクローリン展開は
　　f(a) = 1/|x| -(a^2)/(2(|x|^3)) + …
と書けます。右辺をどこまで続けるかは目的によりますが、普通はaの0次～2次の項ぐらいまでを使って、以降を捨て、それを「n次近似」と呼ぶ。この場合、f'(0) = 0だから0次近似と1次近似は同じで
　　f(a) ≒ 1/|x|- 1/x
また、f'''(0) = 0だから2次近似と3次近似は同じで
　　f(a) ≒ 1/|x| - 1/x -(a^2)/(2(|x|^3))
ということになります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
マクローリン展開の存在を忘れていました…。
丁寧な解説、とてもわかりやすかったです。

回答No.5

alice_44

a でマクローリン展開するよりも、
No.2 のように t で展開したほうが良くない？
計算はほぼ同じだが、考え方としては。

お礼

アドバイスありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.3

matelin

Ｎｏ２です。その回答に誤りがありました。
文中の２箇所の　１＋ｐｘ　は誤りで、１＋ｐｔ　が正しいです。
なお、（１）（２）は　（１＋ｔ）＾ｐ　に変形できると書きましたが、
その時の　ｔ　は、ｔ<<１　を満たす量というものであり、
ａ/ｘ　もそうだし、（ａ/ｘ）＾２もそうです。

お礼

そうですね。補足ありがとうございました。

回答No.2

matelin

こんばんは。

問題には、さらに ０<a の条件がありはしませんか?
もし、そうなら、　a/x << 1 ですから、a/x＝t とおくと、ｔ <<1 です。

ところで、ｔ <<1　のとき、　ｐを正の実数（定数）とするとき、
　（１＋t )＾ｐ　は、１＋ｐｘ　と近似できることは、習いましたか。
これは、（１＋t )＾ｐ　＝ｆ（ｔ）　とおく時、　ｆ（ｔ）を　ｆ（０）＋ｆ’（０）ｔ　で近似することを意味します。

あなたの問題の（１）も（２）も、　第１項は　（１＋t )＾ｐ　という形に、変形できますから、
それを　１＋ｐｘ　と近似すれば、答えが出ますよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘のとおり、a＞0です。
参考にさせていただきます。

回答No.1

fjnobu

両方ともa=0とするとどうなりますか？
aはｘに比べて非常に小さいのです。

お礼

ご回答ありがとうございました。