|sinx|≦|x|

質問

任意の実数ｘについて、なぜ|sinx|≦|x|は成立するのでしょうか？
証明の仕方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

BookerL · ベストアンサー

絶対値がついていますが、ｘ≧０ の範囲で証明できればＯＫでしょう。

　ｆ(ｘ)＝ｘ－sinｘ　　とおきます。

　まず　ｆ(０)＝０　……(1)　がいえます。

次に　ｆ'(ｘ)＝１－cosｘ　で、
cosｘ≦１　なので　ｆ'(ｘ)≧０　ですから、
ｆ(ｘ) は広義の単調増加関数　……(2)　です。

(1)(2)より、ｘ≧０ の範囲で ｆ(ｘ)≧０　つまり　ｘ－sinｘ≧０

回答No.1

rikarin-h

大学生かな？だとしたら考え方はわかるんだけど…。

sinxが正である条件ってことは、全波整流波形、つまり全部の点がｘ軸よりｙ軸方向に０またはプラスになっている状態ですね。

で、比較対象のｙ＝|x|のグラフはやはりｙ軸方向にプラス。よって、議論する点はｘ＝０の点より＋方向、－方向の正弦波がピークを迎える点まで。理由はその点より先のｙ＝ｘのグラフはｙ＝１よりも大きくなってsinxのグラフに共有点を持たないからです。sinxはどう頑張ってもｙ＝１が最大値ですので。

ここで、第１のピークまでがどうなっているか、を調べればいいんですけど、ｙ＝sinxをｘ＝０の近傍でテイラー展開(マクローリン展開)すると、高次方程式が出てきます。５次以降の項はどんどん小さくなっていくので無視すると考慮する項は３次(第２項)まで。

sinx≒ｘ－(1/6)ｘ^(-3)　　　(1)

すると、第２項の符号は－になっているので、少なくともｙ＝ｘという関数のｙの値よりも小さくなっていくのがわかります。実際にグラフに書いてみてもわかるでしょう。この場合はｙ軸に対して対称な遇関数ですので負の方向にも等しく考えられます。

(1)の式は、原点に限りなく近いところではｙ＝ｘと見なせるということです。３次の項が無視できるほど小さいと考えられるためです。