分数の微分で計算間違いの箇所を教えてください

質問

y=(2x^2-8)/(x^2-16) これを一回微分すると、

y'=(4x(x^2-16) - 2x(2x^2-8))/(x^2-16)^2 =-48x/(x^2-16)^2というのは分かります。　

しかし、これをさらに微分しようとして、どうしても参考書の解答にたどり着けないのです。

自分で計算しますと、

y''=(-48(X^2-16)^2-(-48x(2)(x^2-16)))/(x^2-16)^4
=-48(x^2+2x-16)/(x^2-16)^3 になってしまいます。

解答は、y''=48(16+3x^2)/(x^2-16)^3です。　

自分の計算間違いの箇所が見つけられなくて困っています。
教えていただけませんか？　よろしくお願いします。

回答No.2

kiha181-tubasa · ベストアンサー

y''=(-48(X^2-16)^2-(-48x(2)(x^2-16)))/(x^2-16)^4
の分子の後半が間違っています。
y’の分母の微分は
((x^2-16)^2)’=2((x^2-16)*2x
ですよ。「中の微分をかける」ことをど忘れしたんですね。ケアレスミスでしょう。

これで
y’’=(-48(X^2-16)^2-(-48x(2)2x(x^2-16)))/(x^2-16)^4=……
となって正解を得ます。

※　dy/dx=dy/du*du/dx　（合成関数の微分と言われる定理ですね）

お礼

お忙しい中ありがとうございます。

自分では中々自分の間違いに気が付けなくて助かりました！！

回答No.1

alain13juillet

合成関数（x^2-16)^2の微分は、2(x^2-16)・2xです。
複雑になるので、最初の式をy=2+24/(x^2-4^2)=2+3/(x-4)-3/(x+4)としてから計算してはいかがでしょうか？

お礼

お忙しい中教えていただきありがとうございます。