微分の計算

質問

以下の問題を教えてください。
１)log(ｘ＋√(ｘ＾２＋Ａ))を微分せよ
ぼくは、{１＋１/２・(ｘ＾２+Ａ)＾(－1/2)・ｘ}／{ｘ＋√(ｘ＾２＋Ａ)＝{１＋ｘ(ｘ＾２＋Ａ)＾(－1/２)}＝１/{√(ｘ＾２+Ａ)}+ｘ(√(ｘ＾２+Ａ))＾(-３/２)になったのですが、解答の１/{√(ｘ＾２+Ａ)}にぜんぜんなりません。くどいほどの途中式を教えてください。
２}{ｘ＾２+１}/√ｘ　を微分せよ
ｙ’＝{２ｘ√(ｘ)－１/２・ｘ＾(-1/２)・(ｘ＾２+１)}/ｘ＝２√（ｘ）－１/２・ｘ＾（－３/２）・(ｘ＾２+１)になったのですが、解答は、

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

１）
　　(d/dx)log{x+√(x^2+A)}
　＝{1 + 2x*(1/2)/√(x^2+A)} / {x+√(x^2+A)}
　＝{1 + x/√(x^2+A)} / {x+√(x^2+A)}
　＝{√(x^2+A)/√(x^2+A) + x/√(x^2+A)} / {x+√(x^2+A)}
　＝[{√(x^2+A) + x} / √(x^2+A)] / {x+√(x^2+A)}
　＝1/√(x^2+A)

＞{１＋１/２・(ｘ＾２+Ａ)＾(－1/2)・ｘ}／{ｘ＋√(ｘ＾２＋Ａ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑ｘでなく２ｘに。　分母に閉じ括弧「｝」を。
＞＝{１＋ｘ(ｘ＾２＋Ａ)＾(－1/２)}
　　　　　↑ｘでなく２ｘに。　　それと分母が消えています。
＞＝１/{√(ｘ＾２+Ａ)}+ｘ(√(ｘ＾２+Ａ))＾(-３/２)
　意味が分かりません。分母は{ｘ＋√(ｘ＾２＋Ａ)｝のはずですが。

２）
　　(d/dx)(x^2+1)/√x
　＝{ 2x√x - (1/2)/√x*(x^2+1) } / x
　＝{ 2x^2 - (1/2)(x^2+1) } / (x√x)
　＝{ (3/2)x^2 - 1/2 } / x^(3/2)
　＝(3x^2 - 1) / {2x^(3/2)}
　　または
　＝(3/2)√x - (1/2)x^(-3/2)

　計算は合っているので、あとは、－１/２・ｘ＾（－３/２）・(ｘ＾２+１)　を展開して、√ｘの項をまとめれば答えが得られるはずです。

回答No.2

debut

ごめんなさい。Ｍと置いたとこの最後の結果は
１/(x+Ｍ)ではなくて、１/Ｍでした。失礼。

回答No.1

debut

１）
√(x^2+A)の微分をしておくと、
(x^2+A)'/{2√(x^2+A)}=x/√(x^2+A)
log(x+√(x^2+A))を微分すると、
{x+√x^2+A)}'/{x+√(x^2+A)}
={1+x/√(x^2+A)}/{x+√(x^2+A)}
分子は通分して、√(x^2+A)/√(x^2+A)+x/√(x^2+A)で
{√(x^2+A)+x}/√(x^2+A)なので、続けると、
=[{√(x^2+A)+x}/√(x^2+A)]/{√(x^2+A)+x}
=1/√(x^2+A)

√(x^2+A)をＭとしてみると、微分は
(1+1/2*1/Ｍ*2x)/(x+Ｍ)＝(1+x/Ｍ)/(x+Ｍ)
＝{(Ｍ+x)/Ｍ}/(x+Ｍ)＝(Ｍ+x)/{Ｍ(x+Ｍ)}
＝１/(x+Ｍ)
super1332さんの式は、途中、よくわからなくなっています。

２）はいいのでは？　ただ、√だったり、指数だったり
　　混じっているので√に統一するとか・・
2√x-(x^2+1)/(2x√x)=(2√x)*(2x√x)/2√x-(x^2+1)/(2x√x)
=(4x^2-x^2-1)/(2x√x)=(3x^2-1)/(2x√x)　とまとめること
　もできます。