微分の問題

質問

y=e^(sin^(-1)x)について次に答えよ。
(1)　(1-x^2)(y)''-x(y)'-y　を計算せよ。
(2)　(1)の結果の両辺をk回微分せよ。
(3)　y^(n)(0)を求めよ。

(1)の解答
(sin^(-1)x)'=1/(1-x^2)^1/2
y'=e^(sin^(-1)x)*{1/(1-x^2)^1/2}
y''=e^(sin^(-1)x)/(1-x^2)*{1-(x/(1-x^2)^1/2)}
上記のy',y''を式に代入して計算すると
{2x*e^(sin^(-1)x)}/(1-x^2)^1/2
と計算できました。

(2)については、両辺をk回微分？
両辺ってどういうことなのでしょうか？

申し訳ないのですが、(2)、(3)が分かる方教えて
いただけないでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.3

ryn

> (1-x^2)(y)''-x(y)'-y=0
> となりましたが、果たして正解なのでしょうか？
あってます．

あとは両辺を何度か微分してみると規則性が見えてくると思います．

回答No.2

physicsache

(2)については、(1)の結果ですから、
次の等式の両辺を微分すればいいのではないでしょうか。

(1-x^2)y''-xy'-y={2x*e^(sin^(-1)x)}/(1-x^2)^1/2

一応左辺を３階微分してみたんですが、
規則性が見つかりまして、k階微分をkを使って綺麗に書けました。

y^(n)(0)って
yをn階微分して、xに0を代入しろと言うことでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。
左辺全体をxで微分していけばよいのですよね？
やってみます。

回答No.1

ryn

y" で計算ミスをしているので，
(1) の答えが間違っています．

> (2)については、両辺をk回微分？
(1-x^2)(y)''-x(y)'-y = ( (1)の結果 )
の両辺を微分してください．

(3) は (2) の結果が出れば何とかなるのではないでしょうか．

お礼

回答ありがとうございます。
y''が間違っていましたか・・・。
もう一度計算しなおしてみます。

補足

もう一度計算し直した所
y''=e^(sin^(-1)x)/(1-x^2)*{1+(x/(1-x^2)^1/2)}
となりました。
これを（１）の式に代入するとなんと
(1-x^2)(y)''-x(y)'-y=0
となりましたが、果たして正解なのでしょうか？