積の微分

質問

y = (x-1){x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1}　（nは自然数）

これを積の微分法を使って微分するとnx^(n-1)になるらしいのですが、
うまく計算できません…。
解答の計算過程が省略されていて、わからないので
どなたか教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

y = (x-1){x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1}

わざわざ積の微分を使わなくても

　y=(x^n) - 1

なので
　y'=n x^(n-1)

が得られます。

しかし、どうしても積の微分公式を使いたければ

y'=(x-1)'{x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1}
　+(x-1){x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1}'

　= x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1
　+x{(n-1)x^(n-2) +(n-2)x^(n-3) + … + 2x+1}
　-{(n-1)x^(n-2) +(n-2)x^(n-3) + … + 2x+1}

　= x^(n-1) + x^(n-2) + … + x + 1
　+{(n-1)x^(n-1) +(n-2)x^(n-2) + … + 2x^2+x}
　-{(n-1)x^(n-2) +(n-2)x^(n-3) + … + 2x+1}

　={nx^(n-1) +(n-1)x^(n-2) + … +3x^2 +2x+1}
　-{(n-1)x^(n-2) +(n-2)x^(n-3) + … + 2x+1}

　=nx^(n-1) +(n-1)x^(n-2) +(n-2)x^(n-3) + … +3x^2 +2x+1
　 -{(n-1)x^(n-2) +(n-2)x^(n-3) + … +3x^2 +2x+1}
　=nx^(n-1)
と導出できます。