分数の微分。

質問

f(x)=1/(3x^2-17x+10)
を、xでn回微分したら何になるのでしょうか？

3x^2-17x+10=(3x-2)(x-5)を用いると思うのですが、よく分かりません。

数回の微分なら、「1/g(x)をxで微分すると、
-g'(x)/{g(x)}^2になる」ことを用いればいいのですが、
n回微分になると計算できません。

過程も含めて教えてください。
お願いしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

>3x^2-17x+10=(3x-2)(x-5)を用いると思うのですが、

そこに気づけば，部分分数に分けて解けたと思うのですが・・・・・・

f(x) = 1/(3x-2)(x-5)
=(1/13){ 1/(x-5) - 1/(x-2/3) }
=(1/13){ (x-5)^(-1) - (x-2/3)^(-1) }

と変形できますから，

f '(x) =(1/13){ -(x-5)^(-2) + (x-2/3)^(-2) }
f ''(x) =(1/13){ 2(x-5)^(-3) - 2(x-2/3)^(-3) }
・・・・・・
f ^(n) (x)
= {(-1)^n}*(n！)/13
　*{ (x-5)^(-n-1) - (x-2/3)^(-n-1) }

お礼

部分分数に分ければよかったんですね。
久しく使わなかったので忘れてました（苦笑

素早い回答ありがとうございました。