ルベーグ可測関数であることの証明

質問

C^2は2次元の複素数体とする。
φ≠E⊂C^2はコンパクトでEの第一射影,第二射影を夫々A:=proj_1E,B:=proj_2E(この時,E⊂A×Bとなります),
f:E→Cは連続でfはBで偏導関数可能と仮定します。
この時,
g(y):=sup{|(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)|∈[0,+∞);z_0≠z∈B}と置くと,g:A→[0,+∞]はルベーグ可測関数になる事を示したいのですが,
どうすればいいでしょうか?

一応,下記のように考えました。

h(y):=(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)(∈C)と置くと,h(y)は連続なので|h(y)|も連続ですよね。
この時,g(y)も連続になる事が言えればお仕舞いだと思うのですが。。
fの連続性からg(y)も連続になりますね。 よって,任意のr∈Rに対して,もしr=inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B＼{z_0})}なら
{y∈A;g(y)>r}は閉集合でr>inf(|h(y,z)|;(y,z)∈A×(B＼{z_0})}なら{y∈A;g(y)>r}は開集合になりますよね。
従って,gは可測関数になると思うのですがこれで正しいでしょうか?

回答No.2

jcpmutura

位相空間S_1の位相をD_1
位相空間S_2の位相をD_2
とすると
直積空間S=S_1×S_2
の位相は
D={∪_{G_1∈A_1,G_2∈A_2}(G_1×G_2)|A_1⊂D_1,A_2⊂D_2}
と定義されるから

proj_1(∪_{G_1∈A_1,G_2∈A_2}(G_1×G_2))=∪_{G_1∈A_1}G_1∈D_1
proj_2(∪_{G_1∈A_1,G_2∈A_2}(G_1×G_2))=∪_{G_2∈A_2}G_2∈D_2
∴
直積空間S=S_1×S_2から各直積成分S_1,S_2への射影proj_1,proj_2は開写像である
から

proj_1はC^2からCへの開写像となる

Eコンパクトproj_1連続だから

の意味は

Eがコンパクトでproj_1が連続だから

という意味です

定理)Eがコンパクトでfが連続ならばf(E)はコンパクトである

という定理があります

お礼

ご回答誠に有難うございます。お蔭様で漸く解決できました。

回答No.1

jcpmutura

いいえg(y)が連続になるとは限りません

例えば

A=B={z|2≧|z|}
E={(y,z)|1>|y|,|z|≦1}∪{(y,z)|1≦|y|≦2,|z|≦2}

f(y,z)=z^2
z_0=0
とすると
Eはコンパクトだけれども

|y|<1→g(y)=sup_{0<|z|≦1}|z^2/z|=1
1≦|y|≦2→g(y)=sup_{0<|z|≦2}|z^2/z|=2

{y|g(y)>1}={y|1≦|y|≦2}は開ではないし
lim_{y→1-0}g(y)=1≠2=g(1)だから
|y|=1でg(y)は不連続

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C^2は2次元の複素数体とする。
φ≠E⊂C^2はコンパクトで
Eの第一射影,第二射影を夫々A:=proj_1E,B:=proj_2E(この時,E⊂A×Bとなる),
f:E→Cは連続でfはBで偏導関数可能と仮定する。
この時,
g(y):=sup{|(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0)|∈[0,+∞);z_0≠z∈B}

h:E'=E-(A×{z_0})→C
h(y,z):=(f(y,z)-f(y,z_0))/(z-z_0),z_0≠z∈B
と置くと
h(y,z)はE'で連続
|h(y,z)|もE'で連続
任意のr∈Rに対して
(g(y)>r)←→(|h(y,z)|>rとなるz∈Bがある)
だから
{y|g(y)>r}=proj_1(H)
H={(y,z)∈E'|r<|h(y,z)|}
となる
E'=E-(A×{z_0})はEの開集合で
HはE'の開集合だから
HはEの開集合だから
C^2のある開集合Gがあって
H=G∩E
となるから
{y|g(y)>r}=proj_1(G∩E)=proj_1(G)∩proj_1(E)
となり
proj_1はC^2からCへの開写像だから
proj_1(G)はCで開だから可測
Eコンパクトproj_1連続だから
proj_1(E)はコンパクトだから
proj_1(E)はCで閉だから可測
proj_1(G)とproj_1(E)が可測だから
{y|g(y)>r}=proj_1(G)∩proj_1(E)
は可測
∴
gは可測

補足

ご回答誠に有難うございます。

> proj_1はC^2からCへの開写像だから

これはどうしてそう言えるのでしょうか?

> Eコンパクトproj_1連続だから

これはどういう意味でしょうか?