右優集合

質問

微分方程式論　共立　現代数学講座11
の49ページを読んでいます。

微分方程式（２．５）に対して、ｎ+1　次元の集合DおよびDに含まれる集合Eを考える。もし、Eの点から右（または左）へ出る（２．５）の解曲線がDに含まれる限り必ずそれがEに含まれるならば、Eは（２．５）に対してDにおいて右（または左）優集合であるという。

たとえば、（２．５）が
dy/dx=0

A={（ｘ、ｙ）｜ｘ＜＝０、ｙ＝４}
B=｛（ｘ、ｙ）｜ｘ＝０、ｙ＝３｝
C={（ｘ、ｙ）｜ｘ＞＝０、ｙ＝２}
F={（ｘ、ｙ）｜ｘ＞＝０、ｙ＝１}

D=A∪B∪C∪F

のときに、
Eはどんな集合になるのでしょうか？
最初は、
E=C∪F
のように考えたのですが、
そのうちに、A、B、D、C
の任意の和集合としてもよい。
と思えてきました。

どんな集合が、右優集合なのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

E は、要するに、
D の点で、その点から右へ出る解曲線が D に含まれるような点は全て含み、
そうでない点は含んでも含まなくてもよい…という条件を満たす集合
なのかな？

お礼

いろいろヒントをいただきありがとうございます。
この第2章は、3章以下では使われないようですので、
疑問点のしるしだけつけて、先に進んでみます。
読み終わってから、もう一度繰り返して読んでみることにします。

ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

そうでもないです。
E = C ∪ F ∪ G　ただし G = { (x,y) | -20≦x≦-10, y=4 }
とかでも、問題ないように思います。
この例の E は、D の点で G の右にあるものを全て含んではいません。

回答No.3

alice_44

どうも「右へ出る解曲線」の定義ガハッキリしなくて、
微分方程式の式形によっては解釈困難になりそうな予感
もするのだけれど、dy/dx=0 の場合に限っては
点 (a,b) から右へ出る解曲線は、{ (x,y) | x≧a, y=b }　←[*]
で良いような気はします。　そうだとして、
それが D に含まれるならば必ず E にも含まれているような
D の部分集合 E はといえば…

[*] の形の解曲線でが D に含まれるのは、C または F に
含まれる場合です。それが必ず E に含まれるのですから、
E は C および F を全て含んでいなければなりません。
また、そのとき、E は解曲線を含みます。

よって、D の部分集合 E が dy/dx=0 の「右優集合」
になるのは、E⊇C∪F の場合でしょう。

質問文中の「A, B, D, C の任意の和集合」というのは、
おそらく、A, B, C, F の任意の和集合 の書き違いでしょうが、
E は C, F を全て含まねばならないし、A, B については
A, B まるごとでなくても、その任意の部分集合を含むことが
できそうです。

補足

EのA点があったら、
Dの点でAの右にあるものを、すべて集めればよいのでしょうか。

回答No.2

alice_44

「右へ出る解曲線」の右端はどうなってる？
そこの規約によって答えは異なると思う。

補足

解曲線の右端の規定は見つかりません。

回答No.1

alice_44

Eの点から「右へ出る」解曲線
…て、何や？

補足

y=φ(x)なる解が初期条件y(a)=bを満足しているならば、解曲線y=φ(x)は点(a,b)を通ることになる。
もし、aがφ(x)の定義されている区間の左(または右）の端である場合には、y=φ(x)は、点(a,b)から右(または左）に出る解曲線とよばれる。

のだそうです。
ｐ43　より。