固有値の集合のコンパクト性の証明が分かりません

質問

Cは複素数体でφ≠A⊂C,F:A→C^{n×n}としσ(F(x))をn×n複素行列F(x)の固有値集合を表すものとします。x∈A

Aがコンパクトなら∪_{x∈A}σ(F(x))もコンパクトである事を示したいのですが,どうすればいいのでしょうか?

回答No.3

jcpmutura

「Aがコンパクトでfが連続ならばf(A)もコンパクトである」
という定理があるので
σFが「連続」「
開集合GのσFによる逆像(σF)^{-1}(G)}が開集合となる
」
という条件があればその命題は真となります

{G_λ}_{λ∈Λ}
を
∪_{x∈A}σ(F(x))
の任意の開被覆とすると
∪_{x∈A}σ(F(x))⊂∪_{λ∈Λ}G_λ

Aの任意の1つのxに対して
σ(F(x))は有限集合だから
有限個の{G_k}_{k=1～n_x}があって
σ(F(x))⊂∪_{k=1～n_x}G_k
となるから
G_x=∪_{k=1～n_x}G_k
とすると
σ(F(x))⊂G_x
だから
∪_{x∈A}σ(F(x))⊂∪_{x∈A}G_x
だから
A⊂∪_{x∈A}(σF)^{-1}(G_x)
(σF)^{-1}(G_x)が開集合であれば
{(σF)^{-1}(G_x)}_{x∈A}
はAの開被覆となって
Aはコンパクトだから
有限部分開被覆
{(σF)^{-1}(G_x_k)}_{k=1～m}
があって
A⊂∪_{k=1～m}(σF)^{-1}(G_x_k)
だから
∪_{x∈A}σ(F(x))⊂∪_{k=1～m}G_x_k
となって
∪_{x∈A}σ(F(x))はコンパクトとなる

回答No.2

tmpname

> そうしますと,Aの仮定をどのようにすればこの命題は真となるのでしょうか?

FがA→C^{n×n}という以外に制限が無い場合、Aが有限集合でないと一般には成立しない。

というのは、Aが無限集合の場合、同様に（選択公理により）Aに含まれる可算無限点列(a_n) (n∈N) [Nは自然数全体からなる集合]を適当に取り、

F(z) = (k) I_n （z = a_kとなる自然数kがある）, O（それ以外）
とおけば、∪_{x∈A}σ(F(x)) = N （自然数全体）となるから、やはり∪_{x∈A}σ(F(x)) は有界でなく、従ってcompactでない。

一方、Aが有限集合の場合は∪_{x∈A}σ(F(x))も有限集合となるので明らかに compactですが、…何というか、面白くないですよね？

どういう文脈の中でこの問題が出てきたのか（練習問題なのか、大学の課題なのか、何かの補題なのか）分りませんが、（Aがcompactという以外に）Fに何か条件はないのですか？

回答No.1

tmpname

一般のFではそうなりません。
反例:
Rを実数体とします。

A={z∈C| |z|≦1}とするとAはcompact。
I_nをn次正方単位行列、Oを零行列として、
F:A→C^{n×n}を F(z) = O (z=0), (1/|z|)I_n (z≠0)とする。
σ(F(z)) = { 0} (z=0), {1/|z|} (z≠0)となるから、
∪_{x∈A}σ(F(x)) = {0} ∪ {t∈R | t≧1}となって、∪_{x∈A}σ(F(x))は有界ではなく、従ってcompactでもない。

お礼

どうも有難うございます。そうでしたか。

そうしますと,Aの仮定をどのようにすればこの命題は真となるのでしょうか?