関数

質問

関数
ｙ＝ｆ（ｘ）とｘ＝ｆ（ｙ）は関数として、等しいというのは合っていますか?

また、（１）ｆ（ｘ）＝e^x/(e^x+1)のときｙ＝ｆ（ｘ）の逆関数ｙ＝ｇ（ｘ）を求めよ。
（２）（１）のｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）に対し、
（A)∫（a～ｂ）ｆ（ｘ）ｄｘ＋∫（ｆ（a)～ｆ（ｂ））ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｂｆ（ｂ）－af(a)をしめせ。
（解答）
ｆ（ｘ）の値域は、０＜ｙ＜１{（e^x)+1}y=e^x
（１－ｙ）e^x=y⇔ｘ＝log(y/1-y)
ｘとｙを入れ替えて、ｇ（ｘ）＝log(x/1-x)
（２）I＝∫（ｆ(a)～ｆ（ｂ））ｇ（ｘ）ｄｘとする。
ｆ（ｘ）はｇ（ｘ）の逆関数だから、ｙ＝ｇ（ｘ）より、ｘ＝ｆ（ｙ）
ｄｘ＝ｆ‘（ｙ）ｄｙ
また、ｇ（ｆ（a))=a,g(f(b))=bとあるのですが、
これらは、ｙ＝ｇ（ｘ）とｘ＝ｆ（ｙ）を合成したものだ、としても、本質的には、問題ないですよね

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞ｙ＝ｆ（ｘ）とｘ＝ｆ（ｙ）は関数として、等しいというのは合っていますか?
「等しい」という表現は好ましくないとは思いますが、言わんとせんことは合ってると思います。
f(なんとか)というブラックボックスがあって、そこに変数が与えられるだけです。
f(x)＝ x^2-3xも f(t)＝ t^2- 3tも関数としては同じです。

(1)
せっかく値域を求めているので、g(x)の定義域がどうなっているかは確認しておく方がよいでしょう。

(2)
g(x)＝ f^(-1)(x)と書いた方がわかりやすいかもしれません。
被積分関数について、f^(-1)(x)＝ uと置換することを考えます。
すると、x＝ f(u)となり、dx＝ df(u)/du・duとなります。
さらに、x＝ f(a)に対して u＝ f^(-1)(f(a))＝ a、x＝ f(b)に対して u＝ f^(-1)(f(b))＝ bとなるので、
　I＝ ∫[a→b] u・df(u)/du du

ここへ部分積分を適用すれば、
　I＝ [ u・f(u) ][a→b]- ∫[a→b] f(u) du

となって、与式の第1項と相殺される項が現れます。

わざわざ、g(x)と書いて混乱させているようにも思えますね。