確率解析等 3

質問

解法がわかりません

f:[0,1]→Rを[0,1]上連続関数とする。また、Xi(i=1,...,n)を独立でB(1,p)に従う確率変数、つまり、P(Xi=1)=p、P(Xi=0)=1-p (0≦p≦1)とし、Sn=(X1+···+Xn)/nとおく。このとき、次の問いに答えよ。

(1)
確率変数f(Sn)の期待値は多項式P_n(x)を用いてE[f(Sn)]=P_n(p)と表される。多項式P_n(x)をnとfを用いて表せ。必要ならばX1+···+XnはB(n,p)に従う確率変数であることを用いよ。

(2)
任意のε>0に対して、P(|Sn-p|≧ε)≦1/(nε^2)となることを示せ。

(3)
fは有界閉集合[0,1]上の連続関数だから有界である。そこで、
sup_{x,y∈[0,1]} |f(y)-f(x)|≦M＜+∞
δ(c) =sup_{|x-y|≦c} |f(y)-f(x)|
とおく。このとき、任意のc>0に対して、次の不等式を満たすことを示せ。
|E[f(Sn)]-f(p)|（=|E[f(Sn)]-f(p)|≦E|f(Sn)-f(p)|）≦δ(c)+M/(nc^2)

(4)
fは[0,1]上の一様連続関数だから、lim_{c→0} δ(c)=0となる。この事実を用いて、
lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} |P_n(x)-f(x)|=0
を示せ。

回答No.1

noname#227064

(1)
B(n,p)の確率関数はわかりますか？
この回答では具体的には書かず、
P(nSn = k) = g(k;n,p)
とします。
E[f(Sn)] = E[f(nSn/n)] = Σ_{k=0}^n f(k/n)g(k;n,p)
だから
P_n(x) = Σ_{k=0}^n f(k/n)g(k;n,x)
となります。
あとは、g(k;x)をn,k,xで具体的に表せば良いだけです。

(2)
P(|Sn-p|≧ε)にチェビシェフの不等式を適用すると
P(|Sn-p|≧ε) ≦ p(1-p)/(nε)^2
これ以上は書かなくても良いですよね？

(3)
(1)と同様にnSnの確率関数をgとします。
E|f(Sn)-f(p)|）= Σ_{k=0}^n |f(k/n)-f(p)|g(k)
= Σ_{|k/n-p|≦c} |f(k/n)-f(p)|g(k) + Σ_{|k/n-p|＞c} |f(k/n)-f(p)|g(k)
≦ Σ_{|k/n-p|≦c} δ(c)g(k) + Σ_{|k/n-p|＞c} Mg(k)
≦ Σ_{|k/n-p|≦c} δ(c)g(k) + Σ_{|k/n-p|≧c} Mg(k)
≦ δ(c) + M/(nc^2)
一つ目の不等式は
sup_{x,y∈[0,1]} |f(y)-f(x)|≦M＜+∞
δ(c) =sup_{|x-y|≦c} |f(y)-f(x)|
から
sup_{k/n,p∈[0,1]} |f(k/n)-f(p)|≦M＜+∞
δ(c) =sup_{|k/n-p|≦c} |f(k/n)-f(p)|
を使い、三つ目の不等式にはチェビシェフの不等式を使った。

(4)
(3)の結果を使えば、
lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} |P_n(x)-f(x)| ≦ lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} E|f(Sn)-f(x)|
≦ lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} δ(c)+M/(nc^2)
= lim_{n→∞} δ(c)+M/(nc^2)
= δ(c)
c→0の極限をとって、
lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} |P_n(x)-f(x)| ≦ 0
また、
lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} |P_n(x)-f(x)| ≧ 0
でもあるので
lim_{n→∞} sup_{x∈[0,1]} |P_n(x)-f(x)| = 0
となります。