合成関数の微分？？

質問

明日、微分の復習として試験があります。
で、今、教科書傍用の問題集をやっているのですが、

(1) y=(ax+b)^nを微分せよ
(2) y=f(x)*g(x)を微分せよ

上の２つのような問題について、
問題集の解説はすべて展開してから微分をしています。
うろ覚えではありますが、展開しないでも解けるやり方があったと思います。

(1)はy`=n*(ax+b)`*(ax+b)^(n-1)であってますか？
e.g.)y=(2x+1)^3→y`=3*2*(2x+1)^2=6(2x+1)^2

(2)はどんな風にとけばいいのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

Bonotchi · ベストアンサー

こんにちは！
えと、私は今まさにこの分野を勉強している者です！

（1）は正しいと思います。
ただ、その覚え方だとまた忘れてしまう可能性があるので、私が教わった覚えやすい覚え方をご紹介します。

まず、f(x)^nを一つの箱と考えて、(ax+b)をもう一つの箱と考えます。すると、箱の中に箱が入ってるって感じになりますよね。
そして、微分する＝箱を開ける、と考えます。

例えば(2x+1)^3でしたら、まずは外側のf(x)^nの箱を開けます。
つまり、3(2x+1)^2となるわけです。
次に、外側の箱を空けたら内側の箱を開けます。
内側の箱は(2x+1)ですから、これの微分は2ですよね。
箱を全部開けたらそれをかけます。
よって、(2x+1)^3の微分は3(2x+1)^2×2というわけです。

次は積の微分ですよね。
これは公式で覚えちゃうのが早いと思います。
y = f(x)g(x)　のとき　　　　
y’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
です。それぞれ一つずつ微分してくって感じですね。

以上です。長くなって申し訳ありません。
テスト頑張ってください！

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/d_multiple.html

回答No.1

irija_bari

y = f(x) * g(x)
の微分は
y` = f`(x) * g(x) + f(x) * g`(x)
です。これで質問の答えになっているでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
そうです、その通りです！

(1)はあっていますか？