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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:無限小という実数は存在するのですか? )

無限小とは?存在するのか?

このQ&Aのポイント
  • 無限小とは、如何なる適当な意味においても零と区別することができないほど極めて小さい実数のことです。
  • 無限小を考えると矛盾が生じます。ゼロと区別できなければ、ゼロそのものであり、正の実数より小さい実数は存在しないからです。
  • 識者の間でも意見が分かれており、一部は無限小は数学に存在せず、便宜上使われていると主張し、他の一部は無限小は重要な概念であり、超関数の理論において役割を果たすと主張しています。

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.4

一般に順序環において、2つの正の数a, bに関して、aがbに対して無限小である、とは、 「任意の正整数nに対して、 a + a + a + … a (n回足す)< b が成り立つ」 ことをいいます。つまり、aを「何回」(有限回)足しても、bに追いつかない事をいいます。『有限回』であるところがミソです。正の数 aが無限小である、というのは aが1に対して無限小であることを指します。順序体において無限小となる元が存在しないものを Archimedes的順序体といいます。 有理数体は明らかにArchimedes的です。又、実数体は順序体の中でも順序完備な唯一の体で、この事からArchimedes的であることが従います。一方、有理関数体は有理数体に対して不定元xを導入して定義しますが、普通この不定元xを、(1に対して)正の無限大として順序を定義します。この事によって有理関数体は非Archimedes的な順序体の例となります。

nicely007
質問者

お礼

お礼が少し遅れました。かなり詳細に渡った説明を有難う御座います。  特に、「aがbに対して無限小である」という表現の重要性を感じました。 Archimedes的順序体についての勉強の必要性も分かりました。

その他の回答 (4)

回答No.5

> 具体的に言えば、δ(z) に何か別の関数を掛けて、変数の z で積分をしてから、 > その後で lim ε→0^+ を取って、初めて意味を持つと考えています。 例えば何らかの関数f(z)にδ(z) に何か別の関数を掛けて、変数の z で積分をしてから、その後で lim ε→0^+ を取ると、f(0)が現れる、といった感じですね。 これは、デルタ関数は「関数f(z)が与えられた時に、f(0)を返す」という風に見えませんか?つまり、デルタ関数は(何らかの性質を持つ)関数全体を定義域として、実数値を返す関数と考えられるわけです。こういったのを厳密に議論するのが汎関数とか超関数とかいった分野です。 > 「0と1との間の閉区間から、実数を無作為抽出した時に、 > その実数が有理数である確率は?」という微妙な質問に対する答えも、 > 「完全にゼロではなく、無限小だ」と答えるのが正解だと思われます Lebesgueが生み出した測度論や、それをもとにKolmogorovが生み出した確率理論を学習すると分りますが、確率は厳密に0です。矛盾するように思うのは「確率が0 = 絶対に起こらない」と思いこんでいるからで、実際にはそうではない、ということです。測度論やLebesgue積分とかでは「測度は0だが空集合ではないもの」がたくさん出てきます。

nicely007
質問者

お礼

説得力の有る御説明に感謝致します。 特に、 > Lebesgueが生み出した測度論や、それをもとにKolmogorovが > 生み出した確率理論を学習すると分りますが、確率は厳密に0です。 > 矛盾するように思うのは「確率が0 = 絶対に起こらない」 > と思いこんでいるからで、実際にはそうではない、 > ということです。測度論やLebesgue積分とかでは > 「測度は0だが空集合ではないもの」がたくさん出てきます。 は大変興味深い御説明です。勉強になりました。 実際に数学者の人に直接に訊ける機会が少ないからだとも存じます。 こういう時に、Webの力を感じてしまいます。   tmppassengerさんの時間を浪費させてる気がしてきましたので、 貴方の以前の回答をベストアンサーとしまして、終了したいと存じます。 

回答No.3

実数体は Archimedes的順序体であって、従って無限小は存在しません。非Archimedes的順序体(e.g. 有理関数体)では、無限小の概念を考えることが出来ます。 ディラックのデルタ関数は、そのように書けば「直観的には理解しやすいかも知れません」が、数学的厳密性を持たないので、超関数の理論を使って厳密に定義します。そこでは結局実数の議論なので、無限小の概念は使いません。

nicely007
質問者

お礼

お礼が遅れました。私は物理系なのですが、私なりの理解は次の様になります。 例えば、前出のディラックのデルタ関数の表現での ε というのは、  「演算であって実数そのものではない」と言った所です。  具体的に言えば、δ(z) に何か別の関数を掛けて、変数の z で積分をしてから、  その後で lim ε→0^+ を取って、初めて意味を持つと考えています。  これだけの演算をクダクダ書くのを省略するために、 ε という「記号」を、 直感的に便宜上使うのだという解釈です。実際に、デルタ関数自体も、 何か別の関数を掛けて、変数の z で積分をして、初めて意味をなす、 とも考えられるからです。  「ゼロよりは大きいのだが、如何なる正の実数より小さい」 と言う表現が矛盾してる様に見えるのは、これだけの省略された演算を、 一気に表現して実数として比較するために、 あたかも矛盾が生じた様に感ずるのだと解釈してます。 つまり、言語の階層が違うにも関わらず、ε という「記号」を、 他の実数と同じ言語レベルで比較するために、 あたかも矛盾が存在する様に見えると言う事です。 別の例では、「0と1との間の閉区間から、実数を無作為抽出した時に、 その実数が有理数である確率は?」という微妙な質問に対する答えも、 「完全にゼロではなく、無限小だ」と答えるのが正解だと思われますが、 どうでしょうか?  何故なら、「この確率は、限りなくゼロに近いけれども、 厳密にゼロだとすると矛盾する。」からです。 

  • heyboy
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回答No.2

うまくは言えませんが 物理学は数式が未完成であり 架空的な論理と現実が入り乱れていますから 論理のみで「ある」、「ない」は 言えないのかもしれません。 0.00000000001は0ではないですよね? つまりは0.の後がずっと0が沢山あっても 「無」ではありませんね。 いわゆる宇宙学であるだろうと言われてる 「ダークマター」みたいな感じですから 「無限小」はあるであろうと思う事でいいのでは?

nicely007
質問者

お礼

面白い回答に感謝します。特に、 > 論理のみで「ある」、「ない」は言えないのかもしれません。 は的を射てると感じました。

  • info33
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回答No.1

>無限小という実数は存在するのですか?  存在しません。 便宜上, - ∞ , - 0 , +0 などと書きますが, いずれも実数ではありません。

nicely007
質問者

お礼

早速の御返答に感謝致します。

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