以下の(1)、(2)を用いて、背理法により素数が無限個存在

質問

以下の(1)、(2)を用いて、背理法により素数が無限個存在することを示せ。
(1)正の実数rについて、無限級数Σ_[k=1]^[∞] 1/(k^r)はr>1のとき収束する。
(2)mを正の整数、p_1, p_2, ..., p_mを相異なる素数とし、Λ={(k_1, k_2, ..., k_m)|k_i∈Z, k_i≧0, 1≦i≦m}とする。このとき、無限級数Σ_[(k_1, k_2, ..., k_m)∈Λ] 1/[(p_1^(k_1)) (p_2^(k_2))... (p_m^(k_m))]は収束する。

この問題の解き方がわかりません。教えて下さいませんか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

これは「(1)を使って、背理法により素数が無限個存在することを示せ」「(2)を使って、背理法により素数が無限個存在することを示せ」という2つの独立した（でも実際は良く似ている）問題ですね。

で、方針としては、
◯ Σ[nは全ての正整数]1/n はよく知られているように正の無限大に発散するが、
◯ 一方で、素数が有限個しか存在しないと、(1), (2)何れを使っても Σ[nは全ての正整数]1/n が収束してしまって矛盾する

という方針となる。で、(1), (2)何れを使う場合も、いわゆる「素因数分解の一意性」を使う。

(1) は Eulerによる証明法。 仮に素数が有限個 p[1], p[2], ..., p[n] しかないと仮定すると、全ての正整数は n個の非負整数 k[1], k[2], ..., k[n] を使ってΠ[1≦m≦n] p[m]^k[m] とかけるから、

Σ[aは全ての正整数]1/a = Π [1≦m≦n] Σ [1≦k<∞] (1/ (p[m]^k) )

と書ける（右辺で任意の正整数 a に対し、 1/a が現れていることを確認せよ）。(1)を使うと右辺は収束するが、一方で左辺は発散する。

(2)も(1)と証明方針はほぼ同じで、素数がp[1], p[2], ... , p[m] しかないと仮定すると、(2)の無限級数はやはり Σ[aは全ての正整数]1/a に等しくなる、ということを確認すれば、矛盾が導かれる。

お礼

分かりやすかったです。ありがとうございました。