無限順列に対して無限組合せを考えると

質問

Aを要素が3つの有限集合{x,y,z}とします。Nを自然数の集合{1,2,3,4,…}とします。
写像：A→Nを考えます。
これは幾何学的には空間N^3を表しています。
また、解析的には、項数が3の自然数の数列を表してます。
例えばピタゴラス数(x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,z)を考えるといった実用性があります。

以上のことを、組合せで考えます。
例えばピタゴラス数では、x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,zに、同じ組合せを同一視したり、x＜y＜z、もしくは、x≦y≦zといった制限を与えることになります。
これはごく普通の考えと思います。

次に、Nを自然数の集合{1,2,3,4,…}とします。Aを要素が3つの有限集合{0,1,2}とします。
写像：N→Aを考えます。
これは組合せ論的には、3つの要素を無限個並べた順列を表しています。
また、解析的には、各項が0，1，2の無限数列を表してます。
例えば0≦x≦1の実数xの3進法表示(ただし、0.210222…=0.211000…といったような同一視をする)を考えるといった実用性があります。

以上のことを、(重複)組合せで考えてみると、3種類の数字の数列に対して、イレカエをしても同じになる並べ方を同一視することになります。
統計学的には、無限個並べた3種類の数字の度数分布を考えることになります。
絵描きが無限の溝があるパレットに、3種類の絵の具からひとつずつ選び、一定量を出して並べていった後、かき混ぜたときの色を考えることになります。

これもまあ普通の考えと思うのですが、いわゆる「無限組合せ」は聞いたことありません。
なにか実用性はあるのでしょうか。数学の他の分野と関連はあるのでしょうか。

実数(√2)-1の3進法表示で、無限桁の数字0、1、2の「割合」はそれぞれ1/3、1/3、1/3なのでしょうか？
3種類の数字のなんらかの数列(無限順列)に対して、「無限組合せ」を考えたときに、何か面白いことはあるのでしょうか。

回答No.2

noname#152072 · ベストアンサー

>実数(√2)-1の3進法表示で、無限桁の数字0、1、2の「割合」はそれぞれ1/3、1/3、1/3なのでしょうか？

この点についてだけ回答します。
そういった性質（「相対度数」の極限が一様分布する）をすべてのn≧2でのn進展開について満たす実数は正規数と呼ばれます。
正規でない実数の集合はルベーグ測度0であることは知られています。
(√2)-1が正規かどうかは私は知りません。
確率論的独立性や大数の法則と関係します。
Marc Kac, "Statstical Independence in Probability, Analysis and Number Theory," 1959
は参考になります。最近和訳も出ました。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

hrsmmhr

フラクタルは 一種の あなたの言うところの無限組み合わせ？と思ったりします
詳しくはないのでうまくは説明できませんが…