実数に関する証明

質問

高校数学を独学で勉強している者です。
実数にも、ある実数の次の実数みたいなものが存在することの証明を考えました。
<証明>
r,y,xがRを議論領域としているとします。
(∃r)(∀y)(∃x)[r≧y∨(r＜x∧y＞x)]と仮定します。
この命題が存在を主張しているrをr1とします。そうすると、
(∀y)(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]となります。よって、
(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]。
r1より大きい任意の実数をy1として、yに代入します。そうすると、
(∃x)[r1≧y1∨(r1＜x∧y1＞x)]。よって、
(∃x)[r1＜x∧y1＞x]。
ここで、y1はr1よりも大きい任意の実数だったので、
(∃x)[r1＜x∧r1≧x]。
これは、矛盾です。
よって、(∀r)(∃y)(∀x)[r＜y∧(r＜x⇒y≦x)]が成り立つことになります。

上の証明が合っているかどうか知りたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

違う。
> (∃r)(∀y)(∃x)[r≧y∨(r＜x∧y＞x)]と仮定します。
> この命題が存在を主張しているrをr1とします。そうすると、
> (∀y)(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]となります。
ここは存在量化子∃rを満すrをとっているから、ここは合っている。

問題は次の部分
> r1より大きい任意の実数をy1として、yに代入します。
> (∃x)[r1＜x∧y1＞x]。 (1)
ここまではいいが、(1)からの次の論理
> ここで、y1はr1よりも大きい任意の実数だったので、
> (∃x)[r1＜x∧r1≧x]。 (2)
これがいけない。

というのも、(1)は、実際 x = (r1 + y1) /2とおけば、y1> r1だったから
x - r1 = (y1 - r1) / 2 > 0 → r1 < x
y1 - x = (y1 - r1) / 2 > 0 → y1 > x
となるので、(1)を満すxは確かに存在する。（※）
つまり、(1)から(2)への論理である、
『∀x ∀y ∀r ( (y > x ∧ y > r) →(r ≧ x)』(3)
がよくない。(3)が、正に（全順序で）「rとyとの間の数が無い」ということだけど、実際には実数体は『自己稠密』であって（つまり、先ほども行った通りr<yなら、例えば x=(y+r)/2がrとyの間にある）、「rとyとの間に数が常にある」

言い方を変えると、「実数にも、ある実数の次の実数みたいなものが存在する」ことを証明しようとしているのに、(1)から(2)でその証明しようとしている事を勝手に使っていることになる。

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。おかげで、納得することが出来ました。
また、機会があった時は、よろしくお願いします。

回答No.4

tmpname

細かいことだけど、
> (3)が、正に（全順序で）「rとyとの間の数が無い」ということだけど、
というのは、全順序という「仮定で」「rとyとの間の数が無い」、という意味です。

回答No.3

tmpname

一言補足しておくと、有理整数環（整数全体の集合のこと）だと、r<yなるr, yに対して、x=(r+y) /2に対応する数が常にあるとは限らない（例えばr=1, y=2とするとrとyとの間に数はない）が、実数体（実数全体からなる集合）の場合は、x=(r+y) /2というxは常に存在するところが有理整数環とは異なる。

回答No.1

notnot

＞そうすると、
＞(∀y)(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)]となります。
が間違い。(∀y)(∃x)[r1≧y∨(r1＜x∧y＞x)] は(∀y)(∃x)(∃r)[r≧y∨(r＜x∧y＞x)] ということであって、元の命題とは異なります。

お礼

回答ありがとうございました。また、機会があった時は、よろしくお願いします。