「集合Sの真部分集合S'からSへ全単射写像が存在する時、Sを無限集合という」を使ってのR:無限の証明は?

質問

無限集合の定義は
「集合Sの真部分集合S'からSへ全単射写像が存在する時、Sを無限集合という」
だと思います。

NやQやZは無限集合であることはわかりますが、
R(実数の集合)が無限集合であることは上の定義から導く事は可能なのでしょうか?

N⊂Rで
「無限集合を含む集合は無限集合である」
という命題からRは無限集合と導く他ないのでしょうか?

回答No.7

Tacosan · ベストアンサー

#4&#5 です.
f' が全単射であることは, f が全単射であることを使って次のように示すことができます:
・単射であること
x1 ≠ x2 なら f'(x1) ≠ f'(x2) であることを示す. ここで x1 ≠ x2 なら ([x1] ≠ [x2] または x1 - [x1] ≠ x2 - [x2]) である. よって,
１．[x1] ≠ [x2] と仮定すると f は単射なので f([x1]) ≠ f([x2]) である. 一般性を失うことなく f([x1]) > f([x2]) を仮定できる. ここで f の値域は Z なので f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 であることに注意する. x1 - [x1], x2 - [x2] はどちらも 0以上 1未満なので
f'(x1) = f([x1]) + (x1 - [x1]) ≧ f([x1]) ≧ f([x2]) + 1 > f([x2]) + (x2 - [x2]) = f'(x2).
よって f'(x1) ≠ f'(x2).
・全射であること
y ∈ R に対し f'(x) = y なる x が (f' の定義域中に) 存在すればよい. f が全射なので f(z) = [y] となる z ∈ Dom(f) が存在する. このような z を用いて z1 = z + (y - [y]) とおくと [z1] = z なので z1 ∈ Dom(f') であり, かつ
f'(z1) = f([z1]) + (z1 - [z1]) = f(z) + (z1 - z) = [y] + (y - [y]) = y.
なので, 「整数部は『元に戻し』て, 小数部をひっつける」という方針でいけるはずです.

お礼

ご回答有り難うございます。
おかげさまで納得できました。m（＿ ＿）m

B:={f:map|f:A(∈2^Z＼{Φ}＼{Z})→Z}の時、B≠Φだから
(∵f:{2z|z∈Z}(=:A)→Z;A∋a(=2z)→a/2∈Zというものが採れる)
よってf∈Bに対し、
f':Dom(f)→R;Dom(f)∋x→f([x])+(x-[x])で与えると
f':全単射
(∵
単射である事は略。
全射である事を示す
∀y∈Rに対し、∃f^(-1)([y])∈Dom(f) (∵[y]∈Z,f:全単射)より
x:=f^(-1)([y])+(y-[y])と採れる。
実際、
f'(x)=f'(f^(-1)([y])+(y-[y]))
=f([f^(-1)([y])+(y-[y])])+(f^(-1)([y])+(y-[y])-[f^(-1)([y])+(y-[y])])
=f(f^(-1)([y])+(f^(-1)([y])+(y-[y])-[f^(-1)([y])+(y-[y])])
(∵
z+ε:=y(z∈Z,ε∈[0,1))と置くと
[f^(-1)([y])+(y-[y])]=[f^(-1)([z+ε])+(z+ε-[z+ε])]
=[f^(-1)([z+ε])+(z+ε-z)] (∵ガウスの記号の定義)
=[f^(-1)([z+ε])+ε]
=f^(-1)([z+ε])(∵fの定義よりf^(-1)([z+ε])∈Z)
)
=[y]+(f^(-1)([y])+(y-[y]))-(f^(-1)([y])
=y
よってf:全射
)

よって
全単射 ∃f':A(∈2^R＼{Φ}＼{R})→R より
R:無限集合

回答No.6

Tacosan

#5 です. ボケてますね. 悲しいのでボケてない回答を:
関数 f を, 定義域 Dom(f) ⊂ Z, 値域 Range(f) = Z である任意の全単射とします. このとき, 実数x に対して
f' = f([x]) + (x - [x])
と定義します ([x] は Gauss 記号).
この f' は定義域が {x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}, 値域が R となることは明らか.

お礼

ご回答有り難うございます。

> 関数 f を, 定義域 Dom(f) ⊂ Z, 値域 Range(f) = Z である任意の全単射とします.
例えば
f:{2z|z∈Z}(=:A)→Z
A∋a(=2z)→a/2∈Z
で与えればfは全単射ですよね。

> このとき, 実数x に対して
> f' = f([x]) + (x - [x])
> と定義します ([x] は Gauss 記号).
f'でのxの定義域はf([x])の[x]が偶数にならないといけないから　∪[2z,2z+1)　ですね。

> この f' は定義域が {x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}, 値域が R となることは明らか.
{x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}=∪[2z,2z+1)
でRの真部分集合になってますね。

単射である事は
x1≠x2なるx1,x2∈{x ∈ R | [x] ∈ Dom(f)}を採ると
f([x1]) + (x1 - [x1])- {f([x2]) + (x2 - [x2])}
= 1/2[x1] + (x1 - [x1])- {1/2[x2] + (x2 - [x2])}
=1/2([x1]-[x2])-[x1]+[x2]+x1-x2
=-1/2([x1]-[x2])+x1-x2…(*)
となり、x1≠x2よりx1=x2+aなる(0≠)a∈Rが存在する、
(i) a>0の場合、(*)に代入して
=-1/2([x2+a]-[x2])+x2+a-x2
=-1/2z+a (z∈[0,1,…]) と書け、-1/2z<aより、-1/2z≠aで
≠0
又、(ii) a<0の場合も同様。
よって
f'(x1)≠f'(x2)
でf':単射

それで全射の場合は
∀y∈Rに対し、どのようにxを定めればいいのでしょうか?

回答No.5

Tacosan

例えば
「小数第2位と第3位を入れ替える」
なんて操作でも R→R の全単射 (っぽい) ですよね.
「っぽい」なのは, 実はちょっとごまかしてるから. 小数表記を厳密に規定すればいいんだけど.

お礼

有り難うございました。

おかげさまで一歩前へ進めました。

回答No.4

ojisan7

そのような全単射写像はいくらでもあるんではないですか？たとえば、
tan x:(-π/2,π/2)→(-∞,∞)
ですね。

お礼

有り難うございました。

おかげさまで一歩前へ進めました。

回答No.3

adinat

1/x は嘘でした。ごめんなさい。{0}の逆元はないですね。R＼{0}→R＼{0}でした。分数関数などで作るのはたぶん無理だと思います。

これも広義には関数を用いた例ですが、たとえば[0,1)→[0,2)なる写像x→2xを参考にして、[2,3)→[2,4):x→2x-2などを使って、∪_{n=-∞～∞}[2n,2n-1)→Rは作れます。本質的には多項式しか使ってません。直感的には[0,2)が無限集合であること使っているだけですけどね。

お礼

有り難うございました。

おかげさまで一歩前へ進めました。

回答No.2

ringohatimitu

tan(x)を-π/2からπ/2上で考えるとＲとの１対１対応を与えていることが分かります。ここで気をつけなくてはならないのが循環論法の類です。tanなどの関数は、実数が一度構成されてしまえば実数全体が上の定義にしたがって無限集合であることを示されることなく、積分などによって定義されるのでこの全単射は問題なく上の定義における例を与えています。もっと初等的な関数も作れますが身近で思いついたのがこれでした。

お礼

有り難うございました。

おかげさまで一歩前へ進めました。

回答No.1

adinat

たとえばI=(-π/2,π/2)⊂Rとして、f:I→Rをtanで定義すると全単射です。どころかC^{∞}-級微分同相にさえなります。実際問題として、構成的にならいくらでも全単射は作れますが、関数を利用したものの方がわかりやすいでしょうね。log:(0,∞)→Rなんかを用いてもよいでしょう。あるいは分数関数1/xなんかはR＼{0}→Rの全単射ですね。

お礼

有り難うございます。

> 分数関数1/xなんかはR＼{0}→Rの全単射ですね。
これが一番わかりやすいです。

でもf:R＼{0}→R;R＼{0}∋x→f(x)∈R
において
逆元 f^-1(0) は存在するのでしょうか?