実数tを変数とする

質問

実数tを変数とする
　z(t)=(sech(a*t))^(1+i*u)
　　　(iは虚数単位、aとuは実数の定数)
という関数を
　z(t)=x(t)+i*y(t)
　　　(x(t)とy(t)は実数の関数)
の形に変形したいのですが、どうすればいいのでしょうか？

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

Z(t)
=sech(at)^(1+iu)
={1/(cosh(at))}^(1+iu)
={2/(exp(at)+exp(-at))}^(1+iu)
ここで，p(t)=ln(2/(exp(at)+exp(-at)))とおけば，

Z(t)
=(exp(p(t)))^(1+iu)
=exp(p(t))exp(iup(t))
=exp(p(t)){cos(up(t))+isin(up(t))}

したがって，
x(t)=exp(p(t))cos(up(t))
y(t)=exe(p(t))sin(up(t))
となります。

お礼

ありがとうございます。わかりました。

回答No.3

alice_44

No.2 でポイントは、
実数 at に対して sech at ＞ 0 であることです。
これにより、log sech at が実数であることが
保証されます。

お礼

丁寧な説明をありがとうございます。

回答No.2

alice_44

s~(1+iu)
= (s~1)(s~iu)
= s (e~log s)~iu
= s e~(iu log s)
= s (cos(u log s) + i sin(u log s))
= s cos(u log s) + is sin(u log s)

よって、
x(t) = (sech at) cos(u log sech at),
y(t) = (sech at) sin(u log sech at).