実数の数学的帰納法(連続帰納法)っていうのが

質問

実数の数学的帰納法(連続帰納法)っていうのが

http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/msie/gr-thesis/ms/2008/05mm031.pdf

にあるのですが、セクション2のI、II、IIIを示しても、
単調増大列が無限大に発散するとは限らないので、ある数以上の実数全体について示されるとは思えないのですが、
どのような仕組みなのですか？

回答No.3

funoe · ベストアンサー

反省しました。流石に乱暴すぎたようです。

で、反省の結果。。。

Ｌ＝｛ｌ；ａ＜ｘ＜ｌ　なる全てのｘについてＱ(ｘ)｝
とおけば、
・Ｌは空でない
・Ｌが上に有界ならば、
　上限をもつのでそれをｍとおく。　
　ｍがＬの元ならば、IIより∃ｃ、m<x<c・・・・で矛盾
　ｍがＬの元でないなら、IIIよりｍ∈Ｌ・・・で矛盾
　したがって、Ｌは上に有界ではない。

という論旨ではいかがでしょうか。

回答No.2

funoe

いやぁ、最初見たときはあなたと同じ疑問が生じますねぇ。
とはいえ、著名な廣瀬、島内両先生からの引用ってことを踏まえると信用せざるを得ない。
で、考えたら次のような方針でいかがでしょう。

Qが成り立つ元の集合が上に有界だとすると、上限αがある。
このαをIIIのｃと置くと、
b < α なる任意の実数b をとったとき,b < x < α
なる任意のx についてQ(x) が成り立つ・・・・(*)
ので、Q(α）が成り立つ。
従ってαでQは成り立つ。

するとIIから、α＜ｃなるｃが存在して、α < x < c なる任意の実数x に
ついてQ(x) が成り立つ。これはαがＱが成立する元の集合の上限であることに反する。

ってな感じでいかがでしょうか？
(*)のところが少し乱暴ですが、きっと大丈夫ですよね。

回答No.1

noname#113983

a(n)が単調増大列とは任意のn1<n2に対して
a(n1)≦a(n2)　・・・・・＊
が成立することだ。無限に発散しないということは
あるn0に対して任意のn、m≧n0ではa(n)=a(m)になることだよな。ということは
n0以上でも＊は言えるんじゃないのか。