無限集合に関する証明

質問

無限集合が存在しないことを証明しました。
以下の証明が合っているかどうか知りたいです。よろしくお願いします。

<定義>
集合の系列、A1,A2,・・・An・・・について、以下の条件が成り立っているとき、そのときに限り、この系列を、無限拡大系列と呼ぶことにします。
1:任意のnについて、An⊆An+1

<証明>
無限拡大系列が存在すると仮定します。任意の無限拡大系列をI1,I2,・・・In・・・とします。I1,I2,・・・In・・・の和集合をI∞とします。あるnについて、I∞=Inと仮定します。まず、無限拡大系列の定義より、In⊆In+1となるIn+1が存在します。よって、I∞⊆In+1。しかし、I∞の定義より、In＋1⊂I∞。よって、矛盾が生じました。よって、全てのnに対して、、I∞≠In。そして、I∞の定義より、全てのnに対して、In⊂I∞。よって、全てのnに対して、In⊆I∞。これより、I∞を全体集合としたときの、I1,I2,・・・In・・・の補集合をそれぞれ、I1',I2',・・・In'・・・とすれば、全てのnに対して、In'は空集合ではありません。そして、無限拡大系列の定義から、I1'⊇I2'⊇・・・⊇In'・・・となることが分かります。よって、I1',I2',・・・In'・・・の共通部分は空集合ではありません。よって、I1',I2',・・・In'・・・の共通部分の補集合、つまり、I∞が、全体集合であるI∞と等しくなりません。よって、矛盾が生じました。よって、無限拡大系列は存在しないとなります。そして、無限集合が存在すれば、無限拡大系列は存在することになってしまいます。よって、無限集合は存在しないとなります。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

残念ながら、無限集合を扱う時、思い込みで扱ってはいけないという例になってますね。ご自身の証明をもう一度眺めてみて、「ここは論理が飛躍しているが、大丈夫か？」と思った点はありませんでしたか？一つ一つの論理展開に飛躍がないことを丁寧に確認しないといけません。

で、具体的にいうと、まず
A「あるnについて、I∞=Inと仮定します」としたとき、
B「しかし、I∞の定義より、In＋1⊂I∞。」
Bは正しくない。あなたの記号では、ここはI_{n＋1} ⊆ I∞であって、例えば、n以上の全ての自然数mについて、I_m = I_nなら、矛盾はない。
極端な例として、ある集合Xがあって、すべての自然数nに対しI_n = Xとすれば、これも「無限拡大系列」であって、I∞=Xであって、矛盾はない。

次に、
A「1'⊇I2'⊇・・・⊇In'・・・となることが分かります」→B「I1',I2',・・・In'・・・の共通部分は空集合ではありません」
というのが良くない。定義によって、I'_nたちの共通部分は当然空集合で、かつ何も矛盾は生じない。
例えば、
I_n = n以下の自然数の集合とおいてみるとよいです。I∞=自然数全体、I'_n = nより大きい自然数の集合、となることに注意しましょう。この時、I'_nたちの共通部分は実は空集合になっていますが、そのことを確認してみましょう。

お礼

再度の回答、ありがとうございます。
納得することが出来ました。また、もっと勉強をして理解を深めていこうと思います。