絶対値 実数 複素数

質問

絶対値について教えて下さい。

実数における絶対値の定義は、
x≧0ならば、｜x｜=x
x<0ならば、｜x｜=-x
と定義されます。

実数における絶対値｜x｜が一価関数であり、逆関数は
二価関数であることは理解できます。

複素数における絶対値の定義は、
z=a+ibを考えると、
｜z｜=√ｚｚ＾-=√a^2+b^2
と定義されます。

ここで、｜z｜は一価関数だと思うのですが、逆関数はどうなのでしょうか？
｜z｜=√a^2+b^2を満たすa,bは無限に存在するから無限価関数となるのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.8

ramayana · ベストアンサー

ANo.7 の補足への回答

「部分集合と真部分集合の記法の主流などあるのでしょうか？」

「⊂」で部分集合を表すのが普通だと思いますが、異論があるかも知れません。

「真部分集合は言葉で定義する場合どのように定義されるのでしょうか？」

集合 A の真部分集合とは、A の部分集合であってA 以外のもの。

「X = { 1, 2, 3 }　
において、集合Xの真部分集合とは、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} の 7 個。
と認識しているのですが、これも間違いでしょうか？」

間違いではありません。

「おすすめの教科書等ありますでしょうか？」

近くに大きい書店があるなら、内容を眺めてご自分に合いそうなのを選べば良いでしょう。

目安としては、

(1)　　用語には定義が付いていること（意義や意味付けだけのものは×）
(2)　　定理や命題には証明が付いていること
(3)　　ツォルンの補題あたりまで解説があること

でしょうか。「よく分かる～」「数式を使わない～」と謳ったものは、脇が甘くて使えないのが多いようです。ジャーナリストや数学ライターが書いたものよりは、数学専門の学者が書いたものがはずれが少ないと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。

本当にありがとうございました。
集合と位相（斎藤毅）を購入してみました。

本当に何度もご回答ありがとうございました。

回答No.7

ramayana

ANo.6 の補足への回答

○　「10 の逆像は {1}
20 の逆像は {2, 3}
30 の逆像は空集合
なぜこのようにになるのでしょうか？」

「10 の逆像」というのは、f(x) = 10 となる x 全体からなる集合です。 f(x) = 10 となる x は、 x = 1 しかないので、逆像は 1 のみからなる集合 {1} です。

「20 の逆像」というのは、f(x) = 20 となる x 全体からなる集合です。 f(x) = 20 となる x は、 x = 2 と x = 3 があるので、逆像は 2 と 3 からなる集合 {2, 3} です。

「30 の逆像」というのは、f(x) = 30 となる x 全体からなる集合です。 f(x) = 30 となる x が存在しないので、逆像は空集合です。注意すべきは、この場合、逆像が存在しないのでなく、空集合という逆像がしっかり存在していることです。

○　「部分集合とは、集合A（上位集合）と集合B
（よくベン図？で表される）において「B⊂AまたはB=A」
と言う定義自体は正しいでしょうか？」

一応、正しいです。ただ、普通は、「 B⊂A 」と書けば B = A の場合も含むので、「 B が A の部分集合」と「 B⊂A 」とは、同じ意味です。よって、「またはB=A」の部分は不要です。

なお、「 B⊂A 」を「B が A の真部分集合」の意味で使うのは、異端ですから、止したほうが良いでしょう。

********

老婆心ながら、ネットによる知識は、断片的ですから、体系的な理解に向きません。また、この欄は、匿名ですから、得体の知れない人物が書き込んでいるわけで、回答は、鵜呑みにせず参考にとどめるのがいいでしょう。集合論は、数学のいろいろな分野の基礎にもなるので、素性が知れた著者が書いた教科書で一度は勉強されると良いと思いますよ。

補足

何度もご回答ありがとうございます。
理解できました。
本当にありがとうございます。

＞ただ、普通は、「 B⊂A 」と書けば B = A の場合も含むの
＞で、「 B が A の部分集合」と「 B⊂A 」とは、同じ意味で
＞す。よって、「またはB=A」の部分は不要です。
ご指摘ありがとうございます。
wikipediaに記法に関する注意があります。
私は表の下から2番目の記法で理解しておりました。
部分集合と真部分集合の記法の主流などあるのでしょうか？

＞なお、「 B⊂A 」を「B が A の真部分集合」の意味で使うの＞は、異端ですから、止したほうが良いでしょう。
ご指摘ありがとうございます。
「B⊂AかつB≠A」という表現が異端という事は理解しました。
真部分集合は言葉で定義する場合どのように定義されるので
しょうか？

X = { 1, 2, 3 }　
において、集合Xの真部分集合とは、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} の 7 個。
と認識しているのですが、これも間違いでしょうか？

＞素性が知れた著者が書いた教科書で一度は勉強されると
＞良いと思いますよ。
おすすめの教科書等ありますでしょうか？
amazonで調べてみたのですが、どの参考書が良いのか・・・
書店に行きましたが、どの参考書が良いのか判断がつきません
でした・・・

以上、本当に何度も何度もお手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致しますm(_ _)m

回答No.6

ramayana

ANo.5 の補足への回答

○「逆像と逆写像の違いがやはりつかめません・・・」

まず、次の２つをしっかり区別することが必要です。逆写像による値は変域の要素です。一方、逆像は、変域の部分集合です。

　　(1) 集合の要素（「元」ともいう）
　　(2) 集合の部分集合

例えば、３つの数字 1 、 2 、 3 から成る集合 X を考えてみます：

　　X = { 1, 2, 3 }　（ { } 内に要素を並べて集合を表す）

次の [A] と [B] をよく味わってください。

[A]　X の要素は、1 、 2 、 3 の 3 個。

[B]　X の部分集合は、 空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} 、 {1, 2, 3} の 8 個。

上に出てくる {1} は、 1 というただひとつの要素からなる集合を表します。1 と {1} は違うもの、というのがポイントです。1 は数字ですが、{1} は集合です。同様に、2 と {2} や、 3 と {3} も違うものです（注）。

さて、 Y = {10, 20, 30} として、 X から Y への写像f が

　　f(1) = 10
　　f(2) = 20
　　f(3) = 20

で定義されたとします。f(x) = 20 となるx が複数あるので、この f に逆写像は存在しません。一方、逆像は存在し、次のようになります（逆像は、どんな写像にも必ず存在する）。

　　10 の逆像は {1}
　　20 の逆像は {2, 3}
　　30 の逆像は空集合

次に、別の写像 g を

　　g(1) = 10
　　g(2) = 20
　　g(3) = 30

で定義します。この g には、逆写像が存在します。逆写像と逆像は、次のようになります。

　　10 の逆写像による値は 1
　　20 の逆写像による値は 2
　　30 の逆写像による値は 3

　　10 の逆像は {1}
　　20 の逆像は {2}
　　30 の逆像は {3}

数字の 1 と集合の {1} が区別されていれば、「逆写像による値」と「逆像」の違いが分かるはずですよね。

*********
（注）局面によっては、1 と {1}、2 と {2}、 3 と {3} を同一視すると便利なこともある。しかし、混乱の源でもあるので、初心者のうちは、これらをきちんと区別する習慣を身に着けておいた方が良い。
*********

○「1/fという表記をあまり見たことがないのですが・・・」

すみません。ANo.5 が言葉足らずでした。 1/f とは、 x に f(x) の逆数（= 1/f(x)）を対応させる関数のことです。f(x) = sin(x) なら、1/sin(x) を指します。

補足

親切丁寧なご回答本当にありがとうございます。
逆像と逆写像の違い理解できました。
本当にありがとうございました。

違いは分かったのですが、
f(1) = 10
f(2) = 20
f(3) = 20
で
10 の逆像は {1}
20 の逆像は {2, 3}
30 の逆像は空集合
なぜこのようにになるのでしょうか？
逆像と部分集合の対応が全くわかりません・・・

部分集合も言葉の定義を覚えているだけで中身を全然
理解しておりませんでした。本当にありがとうございます。

申し訳ないのですが部分集合の定義についてもう少し教えて
下さい。

部分集合とは、集合A（上位集合）と集合B
（よくベン図？で表される）において「B⊂AまたはB=A」
と言う定義自体は正しいでしょうか？
これを具体的に表すと、
空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} 、 {1, 2, 3} の 8 個。
となると理解しました。

部分集合と似たものに、真部分集合があります。
真部分集合とは、
集合Bが集合A（上位集合）の部分集合であり、
かつB≠Aであることである。
つまり、空集合、{1} 、 {2} 、 {3} 、 {1, 2} 、 {1, 3} 、 {2, 3} の 7 個。
だと理解しました。

追加質問ばかりで本当にすいません。

以上、本当に長くなってお手数をお掛けしますがご回答
よろしくお願い致します。

回答No.5

ramayana

ANo.4 の補足への回答

「逆像の例で、絶対値が挙げられていますが、その他にはどのような例が挙げられるでしょうか？」

きわどい例を挙げましょう。実数を変数域とする関数で、f(x) = 2x を考えます。このとき、実数 y の逆像は、1 個だけの要素からなる集合 {0.5y} です。ちなみに、y の逆関数による値は、実数 0.5y です。

「逆像をf^-1と表す事はしないでしょうか？インターネットで調べてみると逆像という説明でf^-1として扱っているものが多くヒットしました。」

おっしゃる通り。逆像も逆関数もf^(-1) という記号で表され、場合によっては 1/f も同じ記号で表されることがあります。これが混乱の元になっています。 f^(-1) がどの意味で使われているかは、文脈で判断するしかありません。

逆に、自分が記述する場合は、どの意味で使うかを明言する気配りが必要でしょうね。

補足

ご回答ありがとうございます。
なるほど！！
大変、勉強になります。
ありがとうございます。

逆像と逆写像の違いがやはりつかめません・・・
どこがどのように違うのでしょうか？
逆写像は、Y から X への写像であることはわかります。

y の逆像が X の部分集合であることに注意してください。
この点がよくわかりません。
※部分集合とは、集合Aと集合B（よくベン図？で表される）
において「B⊂AまたはB=A」と理解しています。

逆関数（逆写像）と逆像を記号で表す場合は、f^-1を
用いるという事ですね。

1/fという表記をあまり見たことがないのですが・・・
これは通常、逆関数を表す場合に用いることがあるという
理解で良いですか？

例えば、（sin^-1）と（1/sin）って全然異なるので・・・
1/fと言う表現が良くわかりません・・・

何度も本当に申し訳ございませんが、
何卒ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

ramayana

ANo.3 の補足への回答

「実数における絶対値｜x｜
複素数における絶対値｜z｜
が一価関数であると言うのは正しいですよね？]

正しいです。ただ、関数は一価に決まっているので、「一価」という修飾語は無用だと思います。

「逆像とは逆写像の事ではないのでしょうか？
それとも異なるものなのでしょうか？」

逆像（preimage または inverse image）は、逆写像（inverse map または inverse mapping）と異なるものです。ANo.3 の記号で、y の逆像が X の部分集合であることに注意してください。y にその逆像を対応させることは、Y から P(X) への写像になっています。ただし、P(X) は、X のべき集合（X の部分集合全体）です。一方、逆写像は、Y から X への写像です。

「逆写像は逆関数と同義と理解していたのですが、
これは間違いなのでしょうか？」

間違いありません。写像と関数（あるいは逆写像と逆関数）は、同義です。値域が数字の集合である写像のことを関数と呼ぶことが多いようですが、明確なルールはありません。

補足

ご回答ありがとうございます。
質問の本題は理解できました。
ありがとうございます。

＞逆関数とは別に「逆像」という概念があります。上の記号でい＞えば、f(x) = y となる x 全体の集合のことを y の（ f に＞よる）逆像といいます。 例えば f が実数の絶対値の場合は、＞正数 y の逆像は、集合 { y, -y } です。
逆像についてもう少し教えて下さい。
逆写像と逆像が異なる概念である事は理解できました。

上の例は逆像の例で、絶対値が挙げられていますが、
その他にはどのような例が挙げられるでしょうか？

また、逆像をf^-1と表す事はしないでしょうか？
インターネットで調べてみると逆像という説明で
f^-1として扱っているものが多くヒットしました。

以上、お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

ramayana

言葉の意味をきちんと理解してないと、迷路に迷い込んでしまいます。

f を 集合 X から集合 Y への関数として、Y の各元 y に対して f(x) = y となる x がただ１つ存在するとき、 y にこのような x を対応させる関数のことを f の逆関数といいます。

X を実数全体として、f(x) = |x| の場合を考えます。正数 y に対して f(x) = y となる x が 2 個存在するのですから、「f に逆関数は存在しない」とするのが正解です。ご質問で「実数における絶対値｜x｜が一価関数であり、逆関数は二価関数である」としているのは、間違いです。

複素数の場合も同様です。X を複素数全体として、f(x) = |x| の場合を考えます。正数 y に対して f(x) = y となる x が 2 個以上存在するのですから、この場合も「f に逆関数は存在しない」とするのが正解です。「無限価関数」なる造語は使わないほうがいいでしょう。

（参考１）「逆像」について

逆関数とは別に「逆像」という概念があります。上の記号でいえば、f(x) = y となる x 全体の集合のことを y の（ f による）逆像といいます。 例えば f が実数の絶対値の場合は、正数 y の逆像は、集合 { y, -y } です。また、f が複素数の絶対値の場合は、正数 y の逆像は、複素平面上で半径が y の円周上にある複素数全体の集合です。

（参考２）「多価関数」について

「多価関数」は、上の「逆像」とは全然別の概念です。複素関数論において、解析接続の理論で使われます。これを勉強する前は、安易に「多価関数」という言葉を使わないほうが無難でしょう。

補足

ご回答ありがとうございます。

すいません、確認させてください。
実数における絶対値｜x｜
複素数における絶対値｜z｜
が一価関数であると言うのは正しいですよね？

逆関数については理解できました。
ありがとうございます。

逆像とは逆写像の事ではないのでしょうか？
それとも異なるものなのでしょうか？
逆写像は逆関数と同義と理解していたのですが、
これは間違いなのでしょうか？

＞「多価関数」は、上の「逆像」とは全然別の概念です。複素関＞数論において、解析接続の理論で使われます。これを勉強する＞前は、安易に「多価関数」という言葉を使わないほうが無難で＞しょう。
解析接続の知識がないので。
使わないほうが無難ですね。

以上、すいませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

178-tall

ある方程式の解とみれば？
　|x| = 1 は方程式 x^2-1 = 0 の解を意味する
　方程式は一つ、解 x の個数は二つ。
　絶対値 |z| = c は、複素数 z = x+iy にて √x^2 + y^2 = c の解を意味する。
　方程式は一つ、解 z の個数は無限。

解の個数にこだわれば？
　実数域にて |x| = 1 が x=+1, x=-1 の二つを意味するから逆関数は二価関数、というのにならえば、
>｜z｜=√a^2+b^2を満たすa,bは無限に存在するから無限価関数となるのでしょうか？
　…には yes というしかなさそう…。

ようワカラへん。

回答No.1

178-tall

>｜z｜=√a^2+b^2を満たすa,bは無限に存在するから無限価関数となるのでしょうか？

{a,b} のペアは確かに無限個。

でも 2 乗和は一定値。
z=0 を中心、√a^2+b^2 を半径とする「円周」らしい。

補足

ご回答ありがとうございます。

複素平面で考えると凄く良くわかります。
複素平面で考える場合は、z=a+ibよりもデカルト座標の
x-y軸にならって、z=x+iyとした方が良いのでしょうか？

結局、複素数zの絶対値｜z｜の逆関数は無限価関数と言って
良いのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。