円と放物線の共通接線が直交する問題

質問

原点を中心とする半径ｒの円と放物線ｙ＝1/2　x^2＋１との両方に接する直線のうちに互いに直交するものがある。ｒの値を求めよ。

放物線上の点（s,　1/2　s^2+1）で接する接線を考えて、円上の点（ｔ、±√(r^2-t^2）で接する接線を考えてこれが一致する　とやってみたのですが、計算が煩雑な上に「直交」するというのが式にできませんでした。2本以上接線がないと直交できないのでこれも条件にするのではないかと思うのですがなかなか式で表すことができません。
回答いただければありがたいです。よろしくお願いします

回答No.1

take_5 · ベストアンサー

x＾2＋y＾2＝r＾2‥‥(1)。ｙ＝x＾2/2＋１‥‥(2)

x軸に垂直な(1)と(2)の共通接線はない。
従って、共通接線の方程式はy＝mx＋a　‥‥(3)と置ける。
(1)と(3)が接するから、｜a｜＝r√（m＾2＋1）‥‥(4).
(2)と(3)が接するから、m＾2+2a-2＝0　‥‥(5).
両方に接する直線のうちに互いに直交するものがあるという条件から、(5)の2つの解をα、βとすると、αβ＝2a-2＝-1.
従って、a＝1/2。これを(5)に代入するとm＝±1.
これらを(4)に代入すると、r＝√2/4.