円と放物線が接する条件

質問

(a,0)を中心に持つ半径rの円(aは正の定数)が、放物線y=x^2 と接するrの条件をaの値で分類して答えよ
という問題なのですが、円の方程式はx^2 +(y-a)^2=r^2とおけて、これとy=x^2を連立させてみたり
原点のみで接する時はx^2 +(y-r)^2=r^2とおけるのでそれとy=x^2を連立してy=0,2r-1と出るから原点のみで接する条件は2r-1≦0だな…と考えてみたり
色々したのですが、結局よく分かりません…
特にaの値で分類という所がよく分かりません。

分かる方お教え願います。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

質問者の書き込みを見てると、どうやら　x^2 +(y-a)^2=r^2　のようだ。
良いとこまで、考えてるんだが　惜しいね。

y=x^2を円の方程式に代入すると、y＾2-(2a-1)y＋(a＾2-r＾2)＝0　‥‥(1)
y≧0　に注意を払わなければならない。

・y＞0で重解を持つなら判別式＝0　→　4r＾2＝4a-1。この時、 a＾2-r＾2＝(2a-1)＾2/2≧0だから
2a-1＞0
・2a-1≦0　で重解を持つのは、原点で接するとき　つまり(1)から　a＞0より　a＝r

以上から
a＞1/2　のとき、4r＾2＝4a-1。 0＜a≦1/2　の時、a＝r。

お礼

お陰様で分かりました…!ありがとうございますm(_ _)m

回答No.5

info22_

#2です。

問題の「(a,0)を中心に持つ半径rの円(aは正の定数)」の円の中心が(0,a)の間違いであれば
円の方程式は#4さんも示されている
　x^2 +(y-a)^2=r^2 (a>0)　…(1)
となりますね。
放物線y=x^2 …(2)
とは原点(0,0)で常に接します。
(2),(1)から
　y+(y-a)^2=r^2
y^2+(1-2a)y+a^2-r^2=0 …(3)
原点(0,0)で接するときは(1)、(2)でy=0とおいて
　x=0(重解),r=a(a>0)
　このとき(1)の円:x^2+(y-a)^2=a^2
　接点O(0,0)
原点(0,0)でない点で接するときは(3)がy>0の解を持つときで
y>0より　2a-1>0 ∴a>1/2
　判別式D=(1-2a)^2-4(a^2-r^2)=4r^2+1-4a=0 ∴r=√(4a-1)/2 (a>1/2)
　このとき(1)の円：x^2+(y-a)^2=(4a-1)/4 (a>1/2)
接点B,C(±√{(2a-1)/2},(2a-1)/2),(a>1/2)

以上まとめると

　0<a≦1/2のとき r=a　（接円は1個）
a>1/2のとき、r=a, {√(4a-1)}/2 (接円は2個)

参考図）0<a≦1/2のとき（原点で接する円のみ）　水色の円
　　　　a>1/2のとき（原点と原点以外で接する2つの円）
　　　　　　青い円（接点：原点）、赤い円（接点：原点以外）　
　　　　(円の中心は全て(0,a)共通)

お礼

図もとても分かりやすいです。ありがとうございますm(_ _)m

回答No.3

mister_moonlight

こういう質問が一番困る。

＞(a,0)を中心に持つ半径rの円(aは正の定数)が、放物線y=x^2 と接するrの条件をaの値で分類して答えよという問題なのですが、円の方程式はx^2 +(y-a)^2=r^2とおけて

(a,0)を中心に持つ半径rの円は　(x-a)＾2＋y＾2＝r^2。
質問者が書いてるように、x^2 +(y-a)^2=r^2　ではない。どっちが本当なんだ？
(x-a)＾2＋y＾2＝r^2　と　x^2 +(y-a)^2=r^2　では回答が違ってくる。

問題としては、(x-a)＾2＋y＾2＝r^2　の方が面白いんだが。

お礼

すみません表記ミスでした。
(0,a)です。

回答No.2

info22_

y=x^2
y'=2x
なので
共通接線：y=2p(x-p)+p^2 …(1)
接点:P(p,p^2) (p>0)
となります。
接点P(p,p^2)を通る法線：y=-{1/(2p)}(x-p)+p^2 …(2)
円の中心A(a,0)のaは法線(2)とx軸との交点のx座標と求められる。
　0=-{1/(2p)}(a-p)+p^2
{1/(2p)}(a-p)=p^2
a-p=2p^3
a=2p^3 +p
円の半径rは
r=AP=√{(a-p)^2+(p^2)^2}=(p^2)√(4p^2+1)
a>0に対してpが1つ存在し、r>0が１つ定まる。
（∵aはpの単調増加関数、rもpの単調増加関数）
このaとrの関数関係r=f(a)のグラフを描いて添付しておきます。

お礼

ご丁寧な解説ありがとうございます。とても分かりやすく、助かりました…!グラフまでわざわざありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「(a, 0) を中心に持つ半径 r の円」の方程式は (x-a)^2+y^2 = r^2 ですよね.

判別式?

お礼

ありがとうございます

円の式までは、上に書いた通り出ています。

判別式というのは、(x-a)^2+y^2 = r^2にy=x^2を代入した式の判別式という事ですか?
だとした時、
この判別式>0ならば原点以外の2点で接する
判別式=0ならば原点で接する
判別式<0ならば接しない…?という感じでしょうか

そしてこれと、上に書いた原点のみで接する条件2r-1≦0、原点以外でも接する条件2r-1>0の関係は…?

すみません頭がこんがらがってきました…