３円に接する円の求め方

質問

円(1)　中心(x1,y1) 半径r1
円(2)　中心(x2,y2) 半径r2
円(3)　中心(x3,y3) 半径r3
上記の３円に接する円の中心点と半径の求め方を教えてください。
宜しくお願いいたします。

回答No.4

yacob

おはようございます。yacobです。

補足説明の前に、前回の回答に誤りがありましたので、訂正させてください。色々なケースにより解答の数は，0-８通りと書きましたが、"３つの円が１点で接するときは、解答の数は無限"　というのがありました。うっかり落としてすみません。

さて、補足にてご質問のApolloniusの作図方法とは、例として３つの円に外接する円の場合を申し上げますと、3つの円の半径r1,r2,r3のうち、最低の半径、例えばr3、を、他の2つの円の半径から減じて、円(1)、円(２)の半径を、r1-r3, r2-r3 として２つの円を書き、、円(3)を、単なる定点　O3　(x3,y3の位置)へと換えて、"３つの円に接する円” を作図することを、 “２つの円に接し、かつ、１つの点を通る円”　を作図するように変えることです。
これより、“２つの円に接し、かつ、１つの定点を通る円”　の中心、すなわち、"３つの円に接する円”　の中心が、図上に求まりますから、あとは、どれか１つの円に接する円を書けばよいことになります。言われてみれば、簡単ですが、思いつくのは容易でないことと思います。
“２つの円に接し、かつ、１つの点を通る円”　を、作図する方法も、そう簡単ではありませんが、方冪の定理などを用いで解き、作図します。図がないと詳しく説明できませんが、下記の図書をご参考ください。(勿論、他にもあるでしょうが、私の知っているのは)
岩田至康編　幾何学大辞典第１巻　３５３頁、３５２頁
くどくなりましたがお許しください。

回答No.3

kony0

式(1)　(x0-x1)^2+(y0-y1)^2=(r1+r0)^2
式(2)　(x0-x2)^2+(y0-y2)^2=(r2+r0)^2
式(3)　(x0-x3)^2+(y0-y3)^2=(r3+r0)^2

式(1)-(2)を考えると、２乗の差の因数分解を用いて
(x2-x1)(2*x0-(x1+x2))+(y2-y1)(2*y0-(y1+y2))=(r1-r2)(2*r0+(r1+r2))
というx0,y0,r0に関する「１次式」ができあがります。
同様に式(2)-(3)を考えて
(x3-x2)(2*x0-(x2+x3))+(y3-y2)(2*y0-(y2+y3))=(r2-r3)(2*r0+(r2+r3))
これら２式より、x0とy0を、r0および定数で表すことができます。
x0=f(r0|x1,x2,x3,y1,y2,y3,r1,r2,r3)
y0=g(r0|x1,x2,x3,y1,y2,y3,r1,r2,r3)
これを(1)にでも代入すればr0に関する２次方程式ができあがります。これを解けばOK。

ちなみに内接の場合を考えるときは、式を組み替えるのではなく、r1とかを負値にすればそのままの式で対応できます。文字のままやるなら。。。

とはいえ、文字のままやるのはかぁなりきつそうですぜ。

お礼

お忙しいところありがとうございます。
そういえば昔に「２乗の差の因数分解」をやったような気がします。（完全に記憶から抹消されてますが・・・）
ご回答いただいたところの、「x0=f(r0|x1,x2,x3,y1,y2,y3,r1,r2,r3) 」の「f(r0|x1,x2,x3,y1,y2,y3,r1,r2,r3) 」の意味が解らないのですが教えていただけますでしょうか。

回答No.2

yacob

平面幾何学では、”3つの円に接する円を作図する”　方法は、永い年月、解が得られなかったものを、Apollonius　が解きましたので、”Apollonius の問題” といわれるようです。
私は戦中派で、学生時代に解析幾何学を殆ど勉強しなかったので、良く判りませんが、3元2次の文字方程式の解は、大変に困難であろうと思います。しかし、具体的に図が与えられるなら、Apollonius による方法で作図できます。
また、Kony0さんの言われるとおり、３つの円の位置により、解答は、内接、外接の組み合わせで、0,2,4,6,8通りあるようです。例えば、3つの円が互いに、交差せず、接することもなく、また、そのうちの1つの円が他の円の中にあるときは、解は0。3つの円が互いに、交差せず、接することもなく、どの円も他の円の中にないときは、内接、外接の組み合わせにより、解は8通りになります。
ご質問の答えにはなっていませんが、ご参考までに申し上げます。

お礼

お忙しいところどうもありがとうございました。
図で表したいところなんですが、どうやって質問させていただいたらよいのかわかりません。
いろいろ考えてがんばってみます。

補足

お忙しいところ恐れ入ります。
「Apollonius による方法で作図」について詳しく教えていただきたいのですが。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

kony0

中心間の距離に注目した式を考えるのがもっとも単純そうです。
すなわち接している２円の中心間の距離が２円の和（外接のとき）もしくは差（内接しているとき）となることを用いて立式します。
未知数３つ（中心＆半径）、立式３つなので解けますね。

ちなみに、この問題は外接の場合、内接の場合などいろいろあるので、答えは山盛り出てきそうです。（最高16個もありえる?!ここまではないのかもしれませんが）

お礼

どうもありがとうございます。
ただ、立式３つのとき方がわからないのでそちらのほうも教えていただきたいのですが。
求める円（３つの円に外接する円とします）　中心(x0,y0) 半径r0とした場合、
式(1)　(x0-x1)^2+(y0-y1)^2=(r1+r0)^2
式(2)　(x0-x2)^2+(y0-y2)^2=(r2+r0)^2
式(3)　(x0-x3)^2+(y0-y3)^2=(r3+r0)^2
となった場合の x0,y0,r0の求め方が解らないのですが。
基本的な質問で申し訳ございませんが宜しくお願いします。