放物線と直線で囲まれる領域に含まれる最大円

質問

放物線 y=x^2 と直線 y=a (a>0) で囲まれる領域に含まれる円のうち、最大の半径を求めたいのですが。

求める半径を r とします。
直線に接するので、円の中心は (0,a-r) となると思います。
そして、円 x^2 + (y-a+r)^2 = r^2 と放物線 y=x^2 も接するので、連立してxを消去して、
y + (y-a+r)^2 = r^2
y^2 + (-2a+2r+1)y + a^2 - 2ar =0
判別式を考えて、
(-2a+2r+1)^2 - 4(a^2 - 2ar) = 0
4r^2 + 4r + 1 -4a =0
r = (-2 ± 4√a) / 2 = -1 ± 2√a

となりましたが、なんかおかしい気がします。
場合分けなどが必要でしょうか?
どのようにすればよいでしょうか？

回答No.8

kumipapa · ベストアンサー

質問者さんのyの２次方程式を解く方法にこだわってみます。
質問者さんがトライされたとおり、
x^2+(y-a+r)^2 = r^2
y = x^2
を連立させてxを消去し、yの2次方程式
f(y) = y^2+(-2a+2r+1)y+a^2-2ar = 0　・・・(*)
を得ます。この方程式において、円が放物線に接する条件は、f(y)=0が変域0≦y＜aで実数解を一つだけ持つことです。それが重解である必要はありません。従って、
(1) f(y)=0が0≦y＜aの範囲で重解を持つ
(2) f(y)=0 が２つの異なる実数解を持ち、かつ0≦y＜aの範囲で一つの解を持つ
の両方を考えます。

(1) f(y)=0が0≦y＜aの範囲で重解を持つ場合
(*)式の判別式=0を解いて、r = -1/2±√aを得ます（質問者さんの解は単なる計算ミスですね）。
0＜rの条件をつけるとr = -1/2+√aです。ちなみに、r = -1/2-√aは、グラフにおいて円が直線y=aの上でこの直線と放物線に接することを表していますので確認してみてください。
r = -1/2+√aを(*)式に代入すると、
f(y) = y^2 -2(a-√a)y+(a-√a)^2=0
となり、これをyについて解いてy = a-√a。さらにyの変域をチェックして、a＞0において0≦ a-√a ＜aを解くと、1≦aという条件が出てきます。
従って、「 1≦aのときr = -1/2+√a 」が一つの解となります。ちなみに
a＞1のときは放物線の頂点以外の2点（x=±√(a-√a))で円が接し、
a=1のときは、f(y)=0が重解y=0を持ち、r=1/2 (=a/2)で放物線の頂点に接します。
a＜1ではf(y)=0は0≦y＜aの変域で重解を持ちませんが、しかしながら、円は放物線の頂点に接することができそうです。それが後述する(2)のケースになります。

(2) f(y)=0 が２つの異なる実数解を持ち、かつ0≦y＜aの範囲で一つの解を持つ場合
f(a)=a＞0ですので、「f(0)＜0」または「f(0)=0かつ放物線f(y)の軸が負」を解けば良い。
まず、f(0)＜0を解いてみると・・・f(0)=a(a-2r)≧0 なので、f(0)＜0となる場合はない。
つぎに、f(0)=0かつ放物線f(y)の軸が負を解いてみると・・・　f(0)=a(a-2r) より r = a/2 。
放物線f(y)の軸が負より、(2a-2r-1)/2＜0で、r=a/2を代入してこれを解くと、a＜1を得る。
故に、a＜1のときr=a/2で円は放物線の頂点(y=0)に接する。
ちなみにこのとき、y=x^2より、y=0のときx=0 （放物線の頂点）、f(y)=0のもう一つの解α＜0に対してxは実数解を持ちませんから、グラフにおいて円と放物線の交点は放物線の頂点以外にありません。

以上、(1)、(2)をまとめて、
1≦aのときr=-1/2+√a
0＜a＜1のとき r=a/2
となります。

グラフを書いて、（この際y=aは忘れて）円の位置や半径をいろいろ変えてみて、そのとき円と放物線の交点や接点がどのように変化するか、それが、質問者さんのyの2次方程式の解や、回答くださった皆様のxの4次方程式の解とどう結びつくのか、観察してみると良いでしょう。

お礼

みなさまのおかげで、理解できました。
本当に本当にありがとうございます。

回答No.7

ka1234

No.4です。求める半径を r とすると、

r＝(1/2)a　　(0＜a≦1)
r＝√a-(1/2)　(1＜a)

となりました。

回答No.6

noname#47894

xの方程式に持ち込んでみると、

x^2 + (y-a+r)^2 = r^2　
x^2 + (x^2-a+r)^2 = r^2　
x^4＋（1-2a+2r）x^2+a^2-2ar=0

これが、重解を持つには、X=ｘ^2と置いたとき、
１）Xが二つの異なる正の重解を持つとき。
２）Xが実数解0を持つとき。
の二つがあります。
１）のとき、放物線に２点で接し、２)のとき、放物線に１点で接します。
また、２）の時は、Xが正の解をもつと、交点が存在し、領域外となって不適となりますので注意が必要です（このときは接点一個、交点２個）

質問中の方法でも解の一部は求められますが、
最後の部分は、二次方程式の解の公式の適用ミスですね。
4r^2 + 4r + 1 -4a =0 　を解くと
r = (-2 ± 4√a) / 4 = -1/2 ± √a
です。当然、マイナスのほうは捨てますが。

で、a-r≧r>0でなければならないので、いろいろ条件が付くと思います。

回答No.5

info22

(1)0＜a≦1と(2)a＞1の場合分けが必要です。

(1) 0＜a≦1の場合
x^2+(y-(a/2))^2=(a/2)^2
y=x^2
この連立方程式が共通解として(x,y)=(0,0)だけを持つ条件が
場合の条件「0＜a≦1」になります。
円の式は次式です。
x^2+(y-(a/2))^2=(a/2)^2…(A)
この円は点(0,0)でy=x^2に接します。

(1)以外の場合、つまり
(2)a＞1の場合
(A)の円が放物線と3点の交点を持ちますので適しません。
この場合は
x^2+(y-c)^2=(a-c)^2
y=x^2
の連立方程式から
x^2+((x^2)-c)^2=(a-c)^2
が2重解を持つ条件からcを求めます。
X=x^2≧0とおいて
X+(X-c)^2=(a-c)^2
X^2+(1-2c)X+a(2c-a)=0…(B)
が重解を持つ条件から
判別式D=(1-2c)^2-4a(2c-a)=0
これからc(＜a)を求めると
c=(1/2)+a-√a
この時の円の方程式は次式となります。
x^2+(y-a-(1/2)+√a)^2=((√a)-(1/2))^2
y=x^2との接点の座標は
(B)のXの重解からx座標はx=±√Xから出てきます。
x=±√(a-√a),y=a-√a
です。

回答No.4

ka1234

こんにちは。

円と放物線が、放物線の内側で接する場合は２種類あります。・・・[1]
場合分けをする必要がありますね。

発想を変えて、[1]を求めてみてはいかがでしょうか。

そうすると、

(1)円が放物線の頂点で接している。
(2)円が放物線と２点で接している。

の場合が分かります。そうしたら、後から「直線でふたをする」ように
考えれば簡単に求まると思います。

回答No.3

Aronse

と思いましたが、質問者様が言われてるように
答えが変ですね。計算ミスでしょうか。調べてみます。

回答No.2

Aronse

1さんの書かれてる方法の方が簡単だと思いますが、
質問者様の方法でもできると思います。
というより、できていると思います。

>r = (-2 ± 4√a) / 2 = -1 ± 2√a

rは半径なので、-1 + 2√aだけが正解になります。

回答No.1

miracle3535

>求める半径を r とします。
>直線に接するので、円の中心は (0,a-r) となると思います。
考え方だけ書きます。ここまでは合っています。
円は３点に接します。１つは(a,0)、問題は後２箇所ですが
放物線 y=x^2 と接する点になります。ここは半径の直線と
放物線の交差が直角になるところです。Ｘ軸は対象になります
ので０＜Ｘだけでの接点を求めれば良いでしょう。
直線の傾きを変化させ、放物線との交点を求め、そこでの放物線の
接線の傾きが直線の傾きと直角になるところを探す式を作成してく
ださい。