円と２次間数が接する問題について

質問

「y軸の正の部分に中心を持つ半径rの円が、放物線y=x^2 と原点のみを共有する（原点で接する）条件を求める、ただしr>0」という問題なのですが、円の方程式はx^2 + (y-r)^2 = r^2 とおけて、これとy=x^2 からxを消去したy^2 - (2r-1)y = 0 の式のからy=0,2r-1 と出ますよね。ここで、私は両方ともy=0になるのが、「原点で接する」条件だと思ったので、2r-1 = 0, r=1/2 が答えだと思ったのですが、答えは0<r≦1/2 となっていました。なぜこのようになるのでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

>円の方程式はx^2 + (y-r)^2 = r^2 とおけて、これとy=x^2 からxを消去したy^2 - (2r-1)y = 0 の式のからy=0,2r-1 と出ますよね。

これが円と放物線の接点のｙ座標になります。y軸の正の部分に中心を持つ円ですから、原点以外に接点があればそのy座標は正、すなわち、2r-1>0となります。
言い換えると2r-1>0なら、原点以外に接点（共有点）を持つことになるので、2r-1≦0 つまり、r≦1/2　が求める条件になります。
もちろん、r>0ですから　結局 0<r≦1/2　となるのです。

こんがらかして、済みませんでした。

お礼

hinebotさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったんですね。よくわかりました。ところで、2r-1=0とした場合でも原点のみで接するという条件をみたしていると思うのですが、なぜこの場合はいけないのでしょうか。y=0の解しか持ち得ないと考えて、うっかり上のようにしてしまうのですが。

回答No.6

continuous

原点のみを共有するとは、交点が原点のみということです。接していなくてもいいです。

お礼

continuousさん何度もフォローしてくださってどうもありがとうございます。どうも語句の意味を取り間違えていたようです。問題文に「原点のみを共有する（原点で接する）」というカッコ書きがついてたので接していないとだめなんじゃないかと思ってしまいました。疑問が解決しました。どうもありがとうございます！！

回答No.5

hinebot

>Zincerさんへ
判別式云々については、continuousさんの回答通りと思います。
接点か交点かについてですが、原点を含む3点で接する場合もあると思うのですが。違うでしょうか。だから、表現としては接点でも交点でもなく、「共有点」とすべきでしょうね。

>continuousさんへ
>>つまり、共有点の候補は２つあって、(0,0)と(√(2r-1),2r-1)である、ということです。
これ正確ではありません。
「共有点の候補は３つあって、(0,0)と(√(2r-1),2r-1)，(-√(2r-1),2r-1)である」ですよね。

>s-wordさんへ
>>ところで、2r-1=0とした場合でも原点のみで接するという条件をみたしていると思うのですが、なぜこの場合はいけないのでしょうか。
もちろん、2r-1=0の場合も原点のみで接する条件は満たしています。だから、答えが0<r≦1/2と、1/2側に等号がついてるでしょ、ってこれじゃ納得しないかな。結局のところ、continuousさんの#5の回答の通りなんですが。

※後から、この回答を見られた方へ
No.1とNo.2の回答も私がしたのですが、勘違いから全く間違った解説をしてしまいましたので、管理者にお願いして削除してもらいました。

お礼

＞もちろん、2r-1=0の場合も原点のみで接する条件は満たしています。だから、答えが0<r≦1/2と、1/2側に等号がついてるでしょ、ってこれじゃ納得しないかな。結局のところ、continuousさんの#5の回答の通りなんですが。

hinebotさんお返事どうもありがとうございます。みなさまのおかげで何とか理解できました。うれしいです。「原点で接する」という表現にこだわりすぎていました。原点以外に交点がないと考えると素直に理解できました。どうもありがとうございました！！

回答No.4

continuous

回答に間違いがありました。

> 2r-1≦0なら後者は候補から外れるので

と書きましたが、正確には、
　2r-1<0なら後者は候補から外れるので
です。2r-1=0の時は重解を持ち、問題の要求に合致します。

回答No.3

continuous

r=1/2は、方程式y^2-(2r-1)y=0が重解をもつための条件であって、問題が要求している原点のみを共有する条件ではありません。

s-wordさんはy=0,2r-1という解を導きましたが、正確に書くと、
「点(a,b)が２曲線上にある」⇒「b=0かb=2r-1の少なくとも一方が成り立つ」
です。同値な命題を書こうとすれば、
「点(a,b)が２曲線上にある」⇔
　「(a,bは実数)かつ(b=0またはb=2r-1)かつ(b=a^2)」
です。つまり、共有点の候補は２つあって、(0,0)と(√(2r-1),2r-1)である、ということです。2r-1≦0なら後者は候補から外れるので、共有点は原点のみになり、問題の要求する条件が得られます。

お礼

continuousさんお返事どうもありがとうございます。図を描いてみるとかえって混乱していますのですが、問題文の「原点のみを共有する」というのは「原点で重解をもつ」ことではないのでしょうか。共有点とは「交点＋接点」という意味なのでしょうか。そうでしたら、円を大きくしていくと、２次関数の横幅よりも大きくなってしまって、３個共有点を持つことになりますね。これを否定するために2r-1≦0となるんですね。でも問題文中の「原点で接する」というのは接点をもつということですよね。おぼろげながら分かったような気がしますが、用語を正確に把握していないので混乱してしまいます。問題文はどんな状態のことを言っているのでしょうか。

回答No.2

Zincer

hinebotさんへ
>これが円と放物線の接点のｙ座標になります。y軸の正の部分に中心を持つ円ですから、原点以外に接点があればそのy座標は正、すなわち、2r-1>0となります。

「x^2 + (y-r)^2 = r^2」 で示される円と「y=x^2」で示される放物線には原点以外には接点を持ち得ませんから上記の「接点」は「交点」の間違いであると思いますが？

＞言い換えると2r-1>0なら、原点以外に接点（共有点）を持つことになるので、2r-1≦0 つまり、r≦1/2　が求める条件になります。

数学的にはかなり曖昧な表現ですね。
質問中に「原点のみを共有する」とありますから、要するに
「y^2 - (2r-1)y = 0」
の判別式の問題ではないでしょうか？