円の中心の軌跡

質問

初めて質問します。学生ではなく社会人です。
(1)y=x^2に接する半径rの円の中心の軌跡。
(2)y=ax^b （x>0）に接する半径rの円の中心の軌跡。
が知りたいのですが、長らく数学から離れて頭が動きません。簡単に解けるのかどうかも解りませんがよろしくお願いします。
　放物面上に薄板（板厚ｒ）を置いてプレスするときの金型の形状を数式で出したいのですが・・・考え方合ってるでしょうか？

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

微分はご存じですか？

(1)接線の傾きは　y' = 2x　なので、
ある接点を（t,t^2）とすると、
接点を通り接線に垂直な直線の傾きkは 2t * k = -1
で表されるので、k = -1/2t

接点を通り、接線に垂直な直線は、
y - t^2 = -1/2t(x - t)
となるので、

この直線上にある、接点（t,t^2）から距離rの点を求めれば答えが出ると思います。

(2)接線の傾き　y' = ab*x^(b-1)となりますので、
あとは(1)と同じです。

お礼

ありがとうございます。解き方の流れは同じこと思いついたのですが、k = -1/2tのtが抜けていました。こんなことに気づかないとは自分で情けないです。
接点（t,t^2）を中心とする半径rの円とy - t^2 = -1/2t(x - t)
との交点が解答でしょうか？計算してみたのですが、すごくややこしくなってしまいました。綺麗な形にはならなくてあってるでしょうか？

回答No.5

age_momo

単純に点(t,t^2)と円の中心(t+Δx,t^2+Δy)においてΔx:Δy=-2t:1、距離rと分かっているんですから

x=t-2rt/√(4t^2+1)
y=t^2+r/√(4t^2+1)

と思いますけど。。。

ただし、円と2次グラフを想像してもらえれば円が大きすぎるときには全てのtにおいて成立しないことがあるのが分かってもらえると思います。つっかえちゃいますよね。
(つまりt>0の時にxが負になることがあるということです）
rが1以下だと大丈夫なんですが。

回答No.4

sunasearch

何度も間違いがあり済みません。

正しくは、

接線方向の方向ベクトル V=（1,-1/2t）を考えて、
その方向の大きさ１の単位ベクトルV/|V|の「r倍」
を接点(t,t^2)に加えれば座標(x,y)を媒介変数tを用いて
表すことができます。

です。

お礼

半径ｒやからですね。何度もありがとうございます。何とか媒介変数使って表せたかな？程度までできましたが、やっぱりややこしいですね。こんな式を金型屋に伝える勇気が・・・数式やなくて国語で説明するしか無いか？と仕事中に数学楽しんでます。

補足

今回はありがとうございました。結局日本語で伝えてなんとか伝わりました。ちゃんと金型ができるかどうかちょっと不安ですが・・・

回答No.3

sunasearch

すみません。

＃２の方向ベクトルは、接線方向なので
V=（1,-1/2t）でした。

回答No.2

sunasearch

ややこしくなると思います。

別の方法としては、
方向ベクトル V=（1,-t/2）を考えて、
その方向の単位ベクトルV/|V|
を(t,t^2)に加えれば座標(x,y)を媒介変数tを用いて
表すことができます。

もちろん、tを消せばxとyの関係式になります。

お礼

またまたありがとうございます。受験生やった頃もややこしい解が出てくると間違ってる？と思ってしまいます。
ベクトル、媒介変数、懐かしいです、がとても今の頭では使えません。今回何年ぶり？かで数学？の計算をしたのですが、結構楽しいもので、他の質問とかも覗いてみました。昔使ってたチャートとかの参考書でも開いてみようか？なんて気になってます。見ず知らずの私の質問に丁寧に答えていただきありがとうございました。また機会がありましたらよろしくお願いします。