二次形式のモーメント母関数について
二次形式のモーメント母関数について
閲覧ありがとうございます。
確率統計について分からない問題があるので教えてください。
問
X[1],X[2],...,X[n]は独立で共通な標準正規分布N(0,1)に従う確率変数である。
X = (X[1],X[2],...,X[n])'とおく。 (’はベクトル・行列の転置を表す。)
A=(a[i][j])をn次の実対称行列とし、固有値全体を{λ[1],λ[2],...,λ[n]} (λ[1]≧λ[2]≧...≧λ[n]) とする。
Aを係数行列にもつXに関する二次形式 Z = X' A X =Σ[n,i,j=1] a[i,j]X[i]X[j]
このとき以下について答えよ
(1)Mz(t)のモーメント関数を求めよ。
(2)Zの確率分布が自由度k (1≦k≦n)のカイ二乗分布ならば λ[1]=...=λ[n]=1,
λ[k+1]=...=λ[n]=0であることを証明せよ。
(1)については全然わかりません。。。すいません。
(2)について
n次の直交行列をU,固有値を対角成分とする行列をLとしてA=U' L Uと分解します。
Y=UXとして、 Z=X' A X =Y' L Yとかける。
条件よりYは確率分布N(0,1)に従う確率分布である。
ここまで考えましたが後がわかりません。
よろしくお願いします。
お礼
ありがとうございます。
補足
E(X)をE(g(x))に拡張するところまでは、自然な発想として受け入れられるのですが、その特殊な場合としてg(x)＝X^kを考え、それをモーメントとする必然性みたいなものがわかりません。 例えば、なぜ、g(x)＝tan(X)やg(x)＝ln(X)でモーメント母関数（的なもの）を定義しないのですか？