ガンマ分布のモーメント母関数

質問

ガンマ分布のモーメント母関数を計算しています。

https://nishiru3.hatenablog.com/entry/2018/06/24/035613
の「モーメント母関数」の計算の3行目から4行目の
　　　∫[0,∞] x^(α-1) e^{-(λ-t)x} dx
が
　　　Γ(α)/{(λ-t)^α}
になる計算過程を教えて下さい。

「ガンマの性質を使っていることに注意」とありますので、
　　　Γ(α) = ∫[0,∞] x^(α-1) e^(-x) dx
を使っていると思うのですが、
∫[0,∞] x^(α-1) e^{-(λ-t)x} dx
= ∫[0,∞] x^(α-1) e^(λ-t) e^(-x) dx
= e^(λ-t)∫[0,∞] x^(α-1) e^(-x) dx
= e^(λ-t) Γ(α)
は違いますよね…。

どうか教えて下さい。
お願いします。

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

サイトは見ていませんが、問題の積分は次のように置換してください。
∫[0~∞] x^(α - 1)*e^{-(λ- t)x} dx
において、(λ- t)x=s, (λ- t > 0) とおくと、
(上式) = {1/(λ- t)^α}*∫[0~∞] s^(α - 1)*e^(-s)ds
=Γ(α)/(λ- t)^α.
となります。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

No.1さんのお礼にも書きましたが、今回はベストアンサーの選出に非常に悩みました。しかし、今回は(λ-t)x=sとおくことに弊害はなかったので、No.2さんに決めました。

（この回答を見に来る方もいらっしゃるかもしれないので）
(λ-t)x=s
x=s/(λ-t)
dx=1/(λ-t) ds

(上式)
=∫[0~∞] {s/(λ- t)}^(α - 1)*e^(-s) {1/(λ- t)} ds
= {1/(λ- t)^α}*∫[0~∞] s^(α - 1)*e^(-s)ds
まで書いておきます。
ご回答ありがとうございました！

回答No.1

tmppassenger

きちんと置換積分を使えば出る。

今、λ-t = K とおく。K≦0の場合は取り敢えず知らない。K>0であるものとして議論する。

Kx = y とおくと、x= y/K, dx = (1/K) dy。0≦x<∞は、0≦y<∞に移る。

x^(α-1)exp(-Kx)dx = (y/K)^(α-1) exp(-y) (1/K) dy
= y^(α-1) K^(1-α) exp(-y) (1/K) dy
= (1/(K^α)) * y^(α-1) exp(-y) dy

となるから、求めるものがでてくる。

お礼

ご回答ありがとうございます。

確かにその置換積分で解けました。
なるほど、ガンマ分布の性質を使うのは置換積分で解いた後だったんですね。

ベストアンサーですが、今回は非常に悩みました。
ご回答いただいたお二人とも基本的には同じ計算でした。
ただ、No.1さんの方法では、λ-t=Kとおいたうえで、Kx=yともう一度おき直していますが、No.2さんの方法では(λ-t)x = sとおいて一気に計算されており、No.2さんの方法の方が幾分シンプルで効率が良いと感じました。

よって、今回はNo.2さんに差し上げることにします。
チップはベストアンサー分差し上げますので、ご了承ください。
ご回答ありがとうございました！