モーメント母関数について。

質問

モーメント母関数について。

f(x)=2(1-x) (0<=x<=1),
0 (0<x,1<x)

についてモーメント母関数を求めるのですが、

Ｅ[e^(tx)]=∫（0→１の積分）e^(tx)2(1-x)dx=t^(-2)*(e^(t)-t-1)

と大学の先生が書かれていました。モーメント母関数をｔの式に変換する所がどうしても分からないのですが、これは私の板書ミスなのでしょうか？？

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

f(x)は、∫[-∞～+∞]f(x)dx=1となることからも、確率密度関数ですね。

モーメント母関数Ｅ[e^(tx)]
=確率変数xのもとでの、e^(tx)の期待値
=∫[-∞～+∞]e^(tx)・f(x)dx
=∫[-∞～0]e^(tx)・0dx
+ ∫[0～1]e^(tx)・2(1-x)dx
+ ∫[1～+∞]e^(tx)・0dx
=∫[0～1]e^(tx)・2(1-x)dx

ということで、板書の通りかと。

回答No.2

muturajcp

(d/dx)(2t^(-2)*e^(tx)*((1-x)t+1))
=2t^(-2)(d/dx)(e^(tx)*((1-x)t+1))
=2t^(-2)(te^(tx)*((1-x)t+1)-te^(tx))
=e^(tx)2(1-x)

∫_{0～1}e^(tx)2(1-x)dx
=[2t^(-2)*e^(tx)*((1-x)t+1)]_{x=1}-[2t^(-2)*e^(tx)*((1-x)t+1)]_{x=0}
=2t^(-2)*e^(t)-2t^(-2)*(t+1)
=2t^(-2)*(e^(t)-t-1)