大学の統計学です 確率母関数、ベルヌーイ分布、モーメント母関数

質問

明日試験なのですが、勉強不足で全然わかりません・・・・

・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算せよ

・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算せよ

・X1,X2....Xnを互いに独立でベルヌーイ分布に従うn個の確率変数とするとき、Sn=X1+X2+...+Xnの分布が2項分布となることを示せ
またSn/nの平均値と分散を求めよ

・指数分布Exp(θ)のモーメント母関数、平均値（期待値）、分散を計算せよ

・2回のサイコロ投げにおいて、Xを最初の目、Yを2回目の目とするとき、Z=X+Y,W=X-Yとおく
(1)ZとWの平均値を求めよ(2)ZとWの分散をもとめよ(c)ZとWの共分散を
求めよ

・X1,X2....Xnを互いに独立で同一の分布に従う確率変数とする。
E(Xi)=μ、V(Xi)=σ^2、i=1,....,nとしX1,X2....Xnの標本平均をZ=1/n(X1,X2....Xn)とおく。
E(Z)とV(Z)を計算せよ

わかる方教えていただけたら嬉しいです!!!!
よろしくお願いします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

取り敢えず簡単そうなのだけ・・・

・2項分布B(n,p)の確率母関数を計算
母関数をP(s)とすると
P(s)＝Σ[k=0,n]B(n,p)s^kを計算すればよい。
二項分布B(k,p)＝nCk・p^k・q^(n-k)だから
P(s)＝Σ[k=0,n]nCk・p^k・q^(n-k)・s^kを計算

・幾何分布Ge(p)の確率母関数を計算
幾何分布Ge(p)＝pq^(k-1)だから
P(s)＝Σ[k=0,n]p・q^(k-1)・s^kを計算

・指数分布Exp(θ)(・・・？)のモーメント母関数、平均値（期待値）、分散を計算
モーメント母関数をφ(θ),確率密度関数をf(x)とすると
φ(θ)＝∫[-∞,∞]exp(θx)f(x)dx （確率変数Ｘが連続量の場合）だから
φ(θ)＝E[exp(θx)]＝∫[0,∞]exp(θx)・λexp(－λx)dx を計算
平均値E[x]＝∫[0,∞]x・λexp(－λx)dxを計算
分散V[x]＝E[(x－μ)^2]＝∫[0,∞](x－μ)^2・λexp(－λx)dxを計算

お礼

回答ありがとうございました!!!
助かりました(＾＾)

回答No.2

Tacosan

「明日」が「物理明日」なのか「論理明日」なのかわからないので間に合っているかどうか知りませんが, #1 で出てない部分に遠めのヒント:
・「ベルヌーイ分布」とは「確率 p で 1, 確率 1-p で 0 を取る分布」なので (これは人に聞かずとも検索すればわかる), Sn = k となる確率を計算してください. また, 独立な確率変数の和の平均値や分散はそれぞれの確率変数の平均値や分散の和になります (試験が終わったら確かめてください). これを使えば Sn/n の平均値や分散は簡単なはず.
・サイコロ投げ: サイコロの出目の範囲が分からないので解けません. 出目の範囲が分かれば上と同じように平均や分散が求まりますし, 共分散は定義に従って地道に計算するだけです.
・最後: 「ベルヌーイ分布」のときに同じ.
教科書や参考書の類は持ってないの?

お礼

回答ありがとうございました!!
テストなんとか間に合いました、助かりました。