モーメント母関数を微分したものについて

質問

なぜモーメント母関数を微分したものが期待値や分散になるのでしょうか？
画像の問題を解いています。青線で引いた式がなぜ成り立つのかわかりません。
その導出を教えてもらいたいです。

回答No.2

EH1026TOYO

ANo.1・・!
分散（V(X)）の式を書き忘れ・・!
V(X)＝E(X²)－{E(X)}²＝(d²φ(θ)/dθ²|θ=0)－(dφ(θ)/dθ|θ=0)²

回答No.1

EH1026TOYO

モーメント母関数φ(θ)の定義から確率変数Xに対し
φ(θ)
＝E(exp(θX))
＝E(Σ[n=0～∞](θⁿ/n!)Xⁿ)
＝Σ[n=0～∞](θⁿ/n!)E(Xⁿ)

よってφ(θ)を1回微分してθ=0としたものがE(X)、2回微分してθ=0としたものが
E(X²)になる事は上の冖級数の展開式から明らか・・!

E(X)＝dφ(θ)/dθ|θ=0
E(X²)＝d²φ(θ)/dθ²|θ=0