モーメント母関数について

質問

モーメント母関数 E[e^tx] における t の変域ってどんな場合でも自分で勝手に決めてしまっていいんですか。
使ってる参考書の問題の解説に唐突に「t<1 として」という記述があったもので。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

お使いの参考書の解説がわからないので想像ですが、t<1でないとE[e^tx]が存在しないということでしょう。
例えば、パラメータλ(>0)の指数分布
f(x) = λe^(-λx)　(x≧0)
f(x) = 0　(x < 0)
のモーメント母関数は、
E[e^(tx)] = ∫[-∞,∞] e^(tx)f(x) dx
= ∫[0,∞] e^(tx)λe^(-λx) dx
= (λ/(λ-t))∫[0,∞] (λ-t)e^(-(λ-t)x) dx
= (λ/(λ-t))
となりますが、これが存在するにはλ>tでないといけません。

お礼

ありがとうございました！