標準正規分布のモーメント母関数

質問

標準正規分布のモーメント母関数を計算した、３次モーメントと４次モーメントを求めたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

モーメント母関数をM(t)とすると、モーメント母関数の定義により、M(t)=E(exp(tX))です。ただし、Xは、標準正規分布に従う確率変数で、E( )は、平均値を表すとします。実際に計算すると、

M(t) = exp(t^2/2)

となります（添付図参照）。これの4階までの導関数をとると、次のようになります。

M'(t) = t・exp(t^2/2)
M''(t) = exp(t^2/2) + t^2・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3t・exp(t^2/2) + t^3・exp(t^2/2)
M'''(t) = 3exp(t^2/2) + 6t^2・exp(t^2/2) + t^4・exp(t^2/2)

よって、

0回りの３次モーメント = M'''(0) = 0
0回りの４次モーメント = M''''(0) = 3

となります。

お礼

どうもありがとうございました。とてもわかりやすかったです。

回答No.1

Ae610

単に３次モーメントと４次モーメントとしか書かれていないので、取り敢えず原点の周りのモーメントを求めると解釈して・・・、

E[X^3] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^3・e(-x^2/2)}dx
E[X^4] = (1/√(2π))・∫(-∞,∞){x^4・e(-x^2/2)}dx
・・・を計算すればよいと思う・・・！

或いは、或いはN(0,1)のモーメント母関数φ(θ)を計算して、φ'''(θ)|θ=0 , φ''''(θ)|θ=0 ('は微分を表すものとする)を求めればよいと思う・・・！

お礼

どうもありがとうございました。

補足

どうもありがとうございます。「・・・を計算すればよいと思う・・・！」というところの計算が分からないのですが、教えていただけますか。