導関数の求めかたについて

質問

関数f(x)の導関数の求め方についてですが、

分子をf(x+h)-f(x) 　分母をhとして、hを限りなく0に近づける。
計算の途中でhで除算する。これはhが限りなく0に近いが0ではないので成立する。
式の最終行の一つ前でhだけの項は0に等しいとしてhは消去する。
最終行はhを含まない式になる。

計算の途中と最後でhの扱いが違うのが理解できません。イコールではなくニアイコールなら理解できるのですが。
高校の教科書のレベル内で説明してもらえれば嬉しいです。・・・・・

回答No.6

178-tall

>hは0に近づくから結局云々の説明ですが、0ではない項を消去して、なぜイコールが成立するのですか？
>0に限りなく近い数値は、計算途中の都合しだいで、0にしたり、しなかったりしても良いということでしょうか。

「極限」の定義は，「h が 0 とは異なる値を取りつつ 0 に限りなく近づける」ことを意味し、h を 0 に近づけるだけであって，h = 0 を代入してよいとは限らない。
対象の関数が「連続」であれば、h = 0 と代入してよい。

前出の参考 URL では、
　・代入する
　・約分してから代入する（そのまま代入すると分母が０の不定形になる場合）
の二つのケースを例示してますネ。

お礼

なんどももありがとうございます

　　約分してから代入する

約分のときはｈノットイコール０　代入のときはｈ＝０でよいのはどうしてですか。

他の方の回答にありましたが、高校の範囲では証明できないそうです
自分は、大学進学の予定はないので、大学に行かないバカやビンボー人は丸暗記するに限る、ということで納得しました。でも、数学のテストは結構いい点数をとっているんですよ（全国レベルに換算しても）。でも、理解してないのに点数だけ高くてもなぁ・・・・という思いで質問を重ねました。
ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

ANo.3 へ。

>参考 URL の「整式の導関数」の証明なら、どの箇所に疑問があるのでしょうか？
　　↓
>４行目と５行目です。５行目でｈが掛かっている項とｈだけの項が消えているのが分かりません。イコールならｈは０ではないのにｈが掛かっている項とｈだけの項が消えるのはおかしい。
>ｈが掛かっている項とｈだけの項が消えるならニアイコールではないのですか？
　　↓ 参考 URL

参考URL：

http://wonder-trend.com/archives/4291.html

お礼

重ねての回答、恐縮です。
hは0に近づくから結局云々の説明ですが、
0ではない項を消去して、なぜイコールが成立するのですか？
0に限りなく近い数値は、計算途中の都合しだいで、0にしたり、しなかったりしても良いということでしょうか。

回答No.4

jcpmutura

高校の教科書のレベル内では説明不可能です。
大学では「hを限りなく0に近づける」等という非論理的な言葉は使いません
ただし
「式の最終行の一つ前でhだけの項は0に等しいとしてhは消去する」
は誤りで
あくまでhは0に近づけるのであって決して最後まで0に等しくならない
lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)
と書いたとき
{f(x+h)-f(x)}/hはf'(x)に限りなく近づくのであって
決して最後まで等しくなる必要はない
という事はいえます。

任意の正の実数ε>0に対して
ある正の実数δ>0が存在して
0<|h|<δとなる任意の数hに対して
|{f(x+h)-f(x)}/h-f'(x)|<ε
となる時
lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)
と書いて
f'(x)をf(x)の導関数という。

f(x)=2x^3
の導関数を求める
h≠0とすると
{f(x+h)-f(x)}/h
={2(x+h)^3-2x^3}/h
=2(x^3+3x^2+3xh^2+h^3-x^3)/h
=2(3x^2+3xh+h^2)
=6x^2+2h(3x+h)
↓
|[{f(x+h)-f(x)}/h]-6x^2|=2|h(3x+h)|
ここで
0<|h|<δ→2|h(3x+h)|<ε
となるようなδを求める
0<|h|<δの時
|3x+h|≦3|x|+|h|<3|x|+δ
2|h(3x+h)|<2δ(3|x|+δ)
だから
2δ(3|x|+δ)≦ε
となるようなδをみつければよい
δ=min(1,ε/{2(3|x|+1)})
とすると
δ≦ε/{2(3|x|+1)}
δ≦1
2(3|x|+δ)≦2(3|x|+1)
2δ(3|x|+δ)≦2δ(3|x|+1)≦ε
2δ(3|x|+δ)≦ε
だから
0<|h|<δの時
2|h(3x+h)|<2δ(3|x|+δ)≦ε

f(x)=2x^3
の時
任意の正の実数ε>0に対して
δ=min(1,ε/{2(3|x|+1)})
とすると
0<|h|<δとなる任意の数hに対して
|{f(x+h)-f(x)}/h-6x^2|=|2h(3x+h)|<2δ(3|x|+δ)≦ε
となるから
lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)=6x^2

お礼

理解することは諦めました
日常会話の「無限」と数学用語の「無限」の違いがわからないのだと思います

回答No.3

178-tall

ご質問の「意味」が把握できません。

参考 URL の「整式の導関数」の証明なら、どの箇所に疑問があるのでしょうか？

参考URL：

https://math.nakaken88.com/textbook/basic-derivative-function-of-polynomial/

お礼

４行目と５行目です。５行目でｈが掛かっている項とｈだけの項が消えているのが分かりません。イコールならｈは０ではないのにｈが掛かっている項とｈだけの項が消えるのはおかしい。ｈが掛かっている項とｈだけの項が消えるならニアイコールではないのですか？

回答No.2

kiha181-tubasa

途中の計算で「計算の途中でhで除算する。これはhが限りなく0に近いが0ではないので成立する」は，正にその通りです。　そして導関数は，lim(f(x+h)-f(x))/h は限りなく近づいてゆく先の「的（まと）」を求めるので，h=0 の時の値がその「的」だと解釈することで納得してできませんか。

お礼

たぶん「的」はよい比喩なのでしょう
自分には理解できません

回答No.1

f272

1.分子をf(x+h)-f(x) 　分母をhとして、hを限りなく0に近づける。
2.計算の途中でhで除算する。これはhが限りなく0に近いが0ではないので成立する。
3.式の最終行の一つ前でhだけの項は0に等しいとしてhは消去する。
4.最終行はhを含まない式になる。
このうち1.2.4.はそれでOKですが，3.は違います。hが0に等しいとするのではなく，hを限りなく0に近づけてその極限の値にするのです。
f(x)=sin(x)であれば
lim((f(x+h)-f(x))/h)
=lim((sin(x+h)-sin(x))/h)
=lim(2sin(h/2)cos(x+h/2))/h)
=lim(sin(h/2)/(h/2)*cos(x+h/2))
=lim(sin(h/2)/(h/2))*lim(cos(x+h/2))
=cos(x)

お礼

sinやcosのhの消し方は詐欺的ですｗ
質問をさらに要約すれば
X=sin(A) ただし　 A→0
Y=sin(B) ただし B=0
教科書をどう読んでも、眺めても、AノットイコールBなのに、X=Yと書いてあって、これが理解できません