分母分子別でマクローリン展開した関数

質問

皆様よろしくお願いいたします。

f(x)=exp(x)/sin^2(x)

を分母分子別でマクローリン展開し計算すると、次のようになようです。

f(x)=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/(x-x^3/3!+x^5/5!-…)^2
　　=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/{x^2*(1-x^2/3!+2*x^4/45-…)}　…(1)
　　=1/x^2+1/x+5/6+ｘ/3+…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…(2)

(1)はマクローリン展開をn=1のとき、2のときと順に計算して出せますが、
(2)の除算結果はどのような手順で計算されたものでしょうか。
計算の手順も含めてご教示頂きたくお願いいたします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

いわゆる未定係数法ですね。
ところで、(1) 式の分母は、{x^2*(1-x^2/3+2*x^4/45-…)}　のような気がするけど。

１　本題に入る前に、分母を x^2 で括ることの意味を説明します。こうすることによって、

f(x) = (1/x^2)g(x)
g(x) = (1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/(1-x^2/3+2*x^4/45-…)

となります。g(x) の分母の定数項が 0 でないことから、g(x) は、0 の近傍で整関数であることが分かります。したがって、適当な係数 a、b、c、d、… でもって

g(x) = a + bx + cx^2 + …

と表すことができます。g(x) に負べきの項が現れないので、問題が単純化されるのです。

２　a、b、c、d … は、次にようにして計算できます。

1+x+x^2/2!+x^3/3!+… = g(x)(1-x^2/3+2*x^4/45-…)
　　　= (a + bx + cx^2 + dx^3 + …)(1-x^2/3+2*x^4/45-…)
　　　= a + bx + (c-a/3)x^2 + (d-b/3)x^3 + …

最後の式の … は、xの4 次以上の項です。両辺の定数項、1次の項、2次の項、3次の項、・・・　の係数が等しいことから、

1 = a
1 = b
1/2! = c – a/3
1/3! = d – b/3
・・・

となります。aから順にこれを解いて、

a =1
b =1
c = 5/6
d = 1/2
・・・
を得ます。

すなわち、

g(x) = 1 + x + (5/6)x^2 + (1/2)x^3 + ・・・
f(x) = 1/x^2 + 1/x + 5/6 + (1/2)x + ・・・

です。最後の項が x/3 でなく (1/2)x となりました。当方の計算間違いだったら悪しからず

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
ご丁寧な解説を頂き助かります。
分母を x^2 で括ると0近傍でg(x)は分母が1、
よってg(x)は整関数で表せ、
しかも負べき項が現れないという理解でよろしいでしょうか。
なるほど目から鱗です。
お時間があればご教示頂きたいのですが、
このような計算方法はどのような参考書に載っているのでしょうか。
微分積分学？解析学？でしょうか。
ご教示頂けると今後の学習に助かります。

回答No.3

ramayana

ANo.2 へのお礼「このような計算方法はどのような参考書に載っているのでしょうか。微分積分学？解析学？でしょうか。」

１　べき級数の計算方法は、代数学の分野です。ネットで「形式的べき級数」で検索すると、除算の方法を書いてあるものも見つかります。有害サイトがないとも限らないので、個別の URL は差し控えますが、ドメイン名が .ac.jp で終わるサイトがいいかも知れません。

なお、a + bx + cx^2 + … のような形の級数のことを「べき級数」といいます。収束するかどうかは問いません。収束性を問わないことを強調するため「形式的べき級数」とも言います。

２　ただ、次のことは、解析学（とくに関数論）の分野です。関数論の教科書には大抵書かれています。

（１）　有理型関数（複素数の範疇で微分可能な関数）は、収束するべき級数に展開できる（テイラー展開、マクローリン展開、ローラン展開など）。

（２）　２つの有理型関数が等しいことと、展開結果のべき級数が一致することとは、同値。なお、べき級数が一致するとは、各次数の項の係数が等しいこと。

（３）　有理関数を加減乗除した結果のべき級数展開は、元の関数それぞれのべき級数を加減乗除したものに等しい。

３　とくに、上の（３）があるので、ご質問のような「分母分子それぞれをマクローリン展開してそれを除算する」という計算方法が正当だと分かるのです。

お礼

ご回答ご教示頂きありがとうございます。
なるほど代数学と関数論ですか、勉強になります。
特に2項の(1)-(3)のご説明、大変助かります。
これからの学習に大変有益です。
ありがとうございました。

回答No.1

spring135

マクローリン展開はx=0近傍で級数展開したものであって、|x|<1という条件下で使う場合が多いです。

その場合

g(x)=a1*x+a2*x^2+a3*x^3+....

に対して

1/[1-g(x)]≒1+g(x)+g(x)^2+..

という展開を使いうる場合があります。

問題は

g(x)=x^2/3!-2*x^4/45+…

とすると

f(x)=(1+x+x^2/2!+x^3/3!+…)/{x^2*(1-g(x)}　…(1)

=x^(-2)*[1+x+x^2/2!+x^3/3!+…]*[1+g(x)+g(x)^2+...]

=x^(-2)*[1+x+x^2/2!+x^3/3!+…]*[1+x^2/3!-2*x^4/45+…]

=x^(-2)*[1+x+x^2/2!+x^3/3!+…]*[1+x^2/3!-2*x^4/45+…]

=x^(-2)*[1+x+x^2(1/2!+1/3!)+x^3(1/3!+1/3!)+…]

=1/x^2+1/x+(2/3)+x/3+...

となります。定数項があっていませんが確認してください。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
理解不足で申し訳ありません。ご教示頂きました展開

g(x)=a1*x+a2*x^2+a3*x^3+....

に対して

1/[1-g(x)]≒1+g(x)+g(x)^2+..

とできるところが良くわかりませんでした。
どのような定理を用いるとこのような変形ができるのでしょうか。
ご教示頂けると助かります。