対数関数の導関数

質問

対数関数の導関数

お世話になります。
教科書の問題が解けないので、どなたかご教授願えませんでしょうか。

2問あります。

(1) logx/x (分母のxは分子全体にかかります)　の微分
私は、logx x 1/x　とし、f(x) = logx、g(x) = 1/xとして計算したのですが、それだと
1/x・1/x + logx = 1/x^2+logx になってしまいます。
教科書の答えは(1-logx)/x^2 でした。

(2) log (x-1)/(x+1)　の微分
どのように計算してよいか分かりません。教科書の答えは 2/(x^2-1) でした。

お手数ですが、どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.4

Knotopolog · ベストアンサー

logx・1/x　とし、f(x) ＝ logx、g(x) ＝ 1/x の計算でいいのですが，
途中の計算を間違いましたね！
正しくは，

(logx・1/x)´＝(logx)´・1/x＋logx・(1/x)´＝
＝1/x・1/x＋logx・(－1/x^2)＝1/x^2－logx・(1/x^2)＝
＝(1－logx)・(1/x^2)

ところで，log(x－1)/(x＋1)　は，log[(x－1)/(x＋1)] として，計算すると
log[(x－1)/(x＋1)] ＝ log(x－1) －log(x＋1) なので，
log(x－1)/(x＋1)　の微分は， 1/(x－1) －1/(x＋1) となる．

これを計算して整理すると

1/(x－1) －1/(x＋1) ＝(x＋1)/(x－1)(x＋1) －(x－1)/(x－1)(x＋1) ＝
＝(x＋1)/(x^2－1) －(x－1)/(x^2－1) ＝
＝x/(x^2－1)＋1/(x^2－1) －x/(x^2－1)＋1/(x^2－1)＝
＝＋1/(x^2－1)＋1/(x^2－1)＝2/(x^2－1)

お礼

ご回答ありがとうございます！
非常に分かりやすかったです！^^

回答No.5

alice_44

(2) で、log を分割するやり方は、
真数条件に配慮した場合分けが必要です。

お礼

2度もご回答ありがとうございます。

真数条件・・・　聞いたことはあるのですがまだよく理解しておりません。。。
精進します。
どうもありがとうございました。

回答No.3

spring135

(1)d(logx/x)/dx=d(logx)/dx/x+(logx)d(1/x)/dx=(1/x)/x+(logx)(-1/x^2)
=(1-logx)/x^2
割り算になっているものは割り算の公式を使うのが原則です。(d(g/f)/dx=(g'f-gf')/f^2)
d(logx/x)/dx=((1/x)x-(logx))/x^2=(1-logx)/x^2

(2)対数関数の微分公式を使います。
d(log(f(x)))/dx=f'(x)/f(x)
f(x)=(x-1)/(x+1), f'(x)は（1）の公式を参照して
f'(x)=2/(x+1)^2
よって

d(log(x-1)/(x+1))/dx=2/(x+1)^2/((x+1)(x-1))
=2/(x+1)(x-1)

お礼

ご回答ありがとうございます。

dという記号にまだ慣れておらず、使い方がよくわからないのでちょっと難しかったです・・・
もっと微分に慣れたらもう一度この内容にトライします。
どうもありがとうございました！

回答No.2

alice_44

(2) は、
f(x) = (x-1)/(x+1) と置いて
合成関数の微分を使えば、
実関数の範囲でも、x = -2 などでの微分係数を
求めることができます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ちょっと難しくてわかりませんでした・・・(涙)
すみません、もっとレベルアップしてから理解しようと思います。
どうもありがとうございました。

回答No.1

nasubikko

1、考え方はいいですが、1/x＝x^(-1)の微分は-x^(-2)です。確認してみて下さい。

2、logの公式でlog(MN)＝logM+logNというのがあるので、log(x-1)-log(x+1)に分解できるのでそれぞれ微分すると、(x-1)'/(x-1)-(x+1)'/(x+1)=1/(x-1)-1/(x+1)になります。後は通分して下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます！

ご指摘のとおり、1/xの微分ができていませんでした^^;
2番もできました！

どうもありがとうございました！