導関数って？

質問

問題に導関数を求めよという問題があります。
仮に　f(x)=3x^2-2x-1　とします。
この際，微分してしまえば簡単にf(x)'=6x-2となりますよね。
でも，問題は導関数となっていますので，途中式を書くとなるとf(x)'=lim(h→0)=f(x+h)-f(x)/hの公式を用いた計算をしなければならないのですか？

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

> それでは，log[cosx]（［cosx］は絶対値cosxのことになります）の導関数を求めよは，
> y=log[cosx]とおいて，
> y'=(log[cosx])'
> =1/[cosx]'
> =1/[-sinx]
> =1/sinx
> といっても良いんですよね？

3つ違うところがあります。

(1) [-sinx] = sinxと変形できません。
絶対値記号のはずし方は、[a] = a（aが0以上）または[a] = -a(aが負の数)です。

-sinxは負の数になるとは限りません。
マイナスがついてても、負の数にならないことだってあります(例えば-(-3)等)。
-sinxも、x = π/2の時正の数になります。この場合、[-sinx] = -sinxです。

(2) log[x]を微分すると、1/xです。
絶対値記号はなくなります。

(3) 合成関数の求め方が違います。
もう一度、教科書や参考書でやり方を確認してください。
二種類やり方を載せておきます。

< 1 >
y = f(x), cosx = uと置きます。

f(x) = log[cosx]
↓
y = log[u]

f'(x) = dy/dx = (dy/du)(du/dx)です。

dy/du = 1 / u
du/dx = -sinxなので、

dy/dx = (1 / u)(-sinx)
u = cosxを代入すると

dy/dx
= (1 / cosx)(-sinx)
= (-sinx) / (cosx)
= -tanx

よってf'(x) = -tanxです。

< 2 >
合成関数g(h(x))を微分すると

{ g(h(x)) }' = { g'(h(x)) }{ h'(x) } …… (＊)

f(x) = log[cosx]の場合、g(x) = log[x], h(x) = cosxの合成関数と見なせます。
g(x)とh(x)を微分すると、それぞれ

g'(x) = 1/x
h'(x) = -sinx

となります。
ここから、合成関数の微分の式（(＊)式のことです）の
g'(h(x))に当てはまるものは、1 / cosxであることが分かります。
よって

f'(x)
= { g(h(x)) }'
= { g'(h(x)) }{ h'(x) }
= (1 / cosx)(-sinx)
= (-sinx) / (cosx)
= -tanx

お礼

丁寧な解説ありがうございます。
参考にして頑張ってみます。

回答No.4

R_Earl

ANo.3ですが、1箇所追記、1箇所訂正です。

> -sinxも、x = π/2の時正の数になります。この場合、[-sinx] = -sinxです。

誤解を招きそうなので、追記します。
x = π/2の時は[-sinx] = -sinxですが、[-sinx] = sinxとなる場合もあります。
ちゃんと書くと

[-sinx] = -sinx（-sinxが0以上の場合）
または、
[-sinx] = sinx(-sinxが負の数の場合)

となります。

> (3) 合成関数の求め方が違います。

ここは訂正です。
正しくは、『(3) 合成関数の導関数の求め方が違います。』でした。

失礼しました。

回答No.2

BookerL

＞問題に導関数を求めよという問題があります。
（中略）
＞この際，微分してしまえば簡単にf(x)'=6x-2となりますよね。

　何をききたいのかよくわかりませんが、「微分する」と「導関数を求める」とは同じことです。

　途中経過をどう書くかは、問題によります。「導関数の定義に従って」というようなことが書いてあれば極限計算を書かねばなりませんし、特に限定がなければ微分の公式を使えばいいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

pascal3141

微分を最初に習ったときは、limを使って計算することも問題には出ますが、xの累乗の微分、その他の微分は公式として証明されていますので、そのまま使ってf(x)'=6x-2で構いません。

お礼

ありがとうございました。

補足

それでは，log[cosx]（［cosx］は絶対値cosxのことになります）の導関数を求めよは，
y=log[cosx]とおいて，
y'=(log[cosx])'
=1/[cosx]'
=1/[-sinx]
=1/sinx
といっても良いんですよね？
重ね重ねですいません。