指数関数の微分

質問

こんにちは、高1の者です。
指数関数の微分について質問があります。
y=a^x　を微分にするとき、導関数の定義より
lim {a^(x+h) - a^x}/h
h→0

=lim　a^x(a^h-1)/h
h→0
として、h→0のとき、a^h-1→0だから
分母のhと分子のa^h-1を約分して、
与式＝a^x

となるのでしょうか？
ググっても自然対数eやらばかり出てきてよくわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

sanori

こんばんは。

「分母のhと分子のa^h-1を約分」することはできません。
違う数同士で「どうせどちらもゼロになるのだから」という約分はできないのです。
たとえば、Ａ＝２Ｂ　だとしましょう。
Ａ／Ｂ　の　Ａ→０　のときの極限は、１ではなく、あくまでも２なのです。

たとえば、ｙ＝ｘ^2　などのような場合は、
lim[h→0]｛（ｘ＋ｈ）^2　－　ｘ^2｝／ｈ
　＝　lim[h→0]（２ｈｘ　＋　ｈ^2）／ｈ
ｈで約分して、
　＝　lim[h→0]（２ｘ　＋　ｈ）
　＝　２ｘ
あくまでも、分子のｈと分母のｈを約分しています。
違うもので約分していません。

さて、
結論を先に言えば、
ｙ　＝　ａ^x　＝　（ｅ^loga)^x　＝　ｅ^(xloga)
ｙ’＝　中の微分×外の微分　＝　logａ・ｅ^(xloga)
　＝　logａ・ａ^x
です。

では、導関数の定義に沿っていくとして、

ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）　＝　ａ^(x+h)　－　ａ^x
　＝　ａ^x・ａ^h　－　ａ^x
　＝　ａ^x・（ａ^h　－　１）

lim[h→0]｛ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）｝／ｈ
　＝　lim[h→0]　ａ^x・（ａ^h　－　１）／ｈ
　＝　ａ^x・lim[h→0]（ａ^h　－　１）／ｈ
　＝　ａ^x・lim[h→0]（ｅ^(hloga)　－　１）／ｈ

つまり、
lim[h→0]（ａ^h　－　１）／ｈ
がわかればよいわけです。

ａ^h　＝　１　＋　１／ｚ
と置くと、
・分子は　ａ^h　－　１　＝　１／ｚ
・分母は　ｈ　＝　log[a]（１＋１／ｚ）
・ｈ→０　のとき　ｚ→０
なので、
lim[h→0]（ａ^h　－　１）／ｈ
　＝　lim[z→∞]　（１／ｚ）／log[a]（１＋１／ｚ）
　＝　lim[z→∞]　１／｛ｚlog[a]（１＋１／ｚ）｝
　＝　lim[z→∞]　１／log[a]（１＋１／ｚ）^z

ここで、
教科書に出てくるネイピア数（自然対数の底）ｅの定義
ｅ　＝　lim[z→∞]（１＋１／ｚ）^z
を思い出せば、
lim[z→∞]　１／log[a]（１＋１／ｚ）^z　＝　１／log[a]ｅ
　＝　１／（logｅ／logａ）
　＝　１／（１／logａ）
　＝　logａ

以上のことから、
lim[h→0]｛ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）｝／ｈ
　＝　lim[h→0]（ａ^(x+h)　－　ａ^x）／ｈ
　＝　ａ^x・lim[h→0]（ｅ^(hloga)　－　１）／ｈ
　＝　ａ^x・lim[z→∞]　（１／ｚ）／log[a]（１＋１／ｚ）
　＝　ａ^x・logａ

よって、
ａ^x　の導関数は、logａ・ａ^x　です。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

info22

a>0とします。
a^x=e^{xlog(a)}なので
(a^x)'={log(a)}*e^{xlog(a)}={log(a)}*(a^x)…(▲)
となりますが、

高1なので、導関数の定義から微分を求めたいのでしょうか？

そうなら、
> h→0のとき、a^h-1→0だから
>分母のhと分子のa^h-1を約分して、
>与式＝a^x
これは間違いですので以下のようにして求めると良い。

自然対数の底のネピア数「e」の定義を使えばいいですね。
lim　(p+1)^(1/p)＝e　…(◆)
p→0

>lim　(a^x){(a^h)-1}/h
>h→0
=a^x *k …(●)
とおいてkを求めよう。

k=
lim　{(a^h)-1}/h
h→0

(a^h)-1=pとおくとh→0の時p→0
a^h=p+1
h=log(p+1)/log(a)
k=log(a)*
lim　p/log(p+1)
p→0
=log(a)*
lim　1/log{(p+1)^(1/p)}
p→0
=log(a)*{1/log(e)} (定義(◆)より)
=log(a)

(●)に求めたkを代入すれば
>lim　(a^x){(a^h)-1}/h
>h→0
=(a^x)log(a)
が得られます。((▲)と一致しますね。)

(参考）
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%BE%AE%E5%88%86%EF%BC%92#.E6.8C.87.E6.95.B0.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.BE.AE.E5.88.86

回答No.1

kabotya636

y＝a^xの微分は、a^x*logaになります。
それは、つぎの様にします。
まず、双方の対数をとります。
logy=x*loga
次に、ｘについて微分します。
（1/y)(dy/dx)=loga
(dy/dx)=y*loga
ここｙ＝a^xを代入して、
(ｄｙ/dx)=loga*a^xとなります。

お礼

ご返答ありがとうございます。
確かにそうなりますね。
しかし、なぜ最初に書いた方法は違っているのでしょうか？