微分係数、導関数（数学II）

質問

f(x)=2の導関数は0です。

f(x)=yとすると、y=2はx軸に平行な直線となるので、傾きを表す導関数が0になるというのは肯けます。

しかし納得できない点があります、

f(x)=2の導関数を導関数の定義に従って求めると

f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0―(1)

となります。

また、f(x)=x^3の導関数は

f´(x)=lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)―(2)
=3x^2

となります。

(2)はhが0の時に3x^2になるということを示していますよね？

じゃあ(1)はどうなるのでしょう。分母がhになっていますが・・・。

もしや私の考えていることは前提が間違っていて、(2)の場合、hが0に近づけば、f´(x)が3x^2に近づくといった方が正しいのでしょうか？

でもそれならイコールで結ぶことはできないはずですよね。

「3x^2であること」（3x^2）と「3x^2に限りなく近いということ」（lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)）は別だと思うのです。

そして仮にそうだとしても(1)に納得する理由にはならない気もします。

hが0に近づくといいますが、0になってしまったら式が成り立たなくなってしまいますよね。

2-2/hという式は、hが0以外のときに成り立つと思うんです。

質問をまとめると、

その1　f(x)=2の導関数、つまり　f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0　←この場合、hが0に近づくというのはどういうことなのでしょう？

その2　f(x)=x^3の導関数、つまり　lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)=3x^2←この両辺は等しいと言えるのでしょうか？

定義の理解も曖昧ですみません・・・。

よろしくお願いします！

回答No.2

shsst14 · ベストアンサー

>じゃあ(1)はどうなるのでしょう。分母がhになっていますが・・・。

分子は、hに関係なく常に"2-2=0"です。分母は、無限にゼロに近付くだけで、決してゼロにはなりません。分子がゼロですから、微分係数は常にゼロです。0/0(=不定)ではないことに注意してください。

>(2)の場合、hが0に近づけば、f´(x)が3x^2に近づくといった方が正しいのでしょうか？
その通りです。そして、hを無限にゼロに近付けた極限値が微分係数の定義です。

>でもそれならイコールで結ぶことはできないはずですよね。
できます。分母のhは、分子を除して無くなってしまうので、ゼロ割ではなくなります。安心してゼロにしてください。但し、分母がhのうちにゼロにしてしまうとゼロ割になるので、気をつけてください。

>その1　f(x)=2の導関数、つまり　f´(x)=lim[h→0]2-2/h=0　←この場合、hが0に近づくというのはどういうことなのでしょう？

上述したとおり、分子がゼロなので、hの値に関係なく常にゼロです。

>その2　f(x)=x^3の導関数、つまり　lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)=3x^2←この両辺は等しいと言えるのでしょうか？

上述した通り、この場合は等式で結ぶのが正しいです。

補足：
質問者さんは、なめらかな曲線の例を(2)に挙げているので、h→0の極限値として、最終的にh=0にできますが、なめらかでない曲線の場合は、h→+0とh→-0とで極限値が異なる点があります。この場合は、その点においては、上側と下側とで別々の微分係数があるので、質問者さんが考えられているように、その点では、微分係数が定義できないことになります。

質問者さんは、ただ単に解いてくれという愚かな質問ではなく、考え抜いた末に、悩ましい質問を挙げられましたね。久し振りにまともな質問を見た感じがします。今後も悩んで頑張ってください。

お礼

ありがとうございます。
褒めていただけるとは・・・励みになります。

0になるわけではなく、0に近づくだけであるということをしっかり頭に入れておきます。

イコールで結べるかどうか、という点に関してですが、回答者様の回等を読んだあとに教科書をもう一度読み直してみました。

limは、「hが0に近づく時の極限値」ということを表していて、そしてそれが「2」であるということを表しているんだなという理解が出来ました。

極限値という語の定義をした以上、2とイコールで結べるんだなあ・・・ということです。

補足も勉強になりました！

回答No.3

hugen

(2-2)/h = 0/h=0
h=1　　なら　0/h=0/1=0
h=0.1　　なら　0/h=0/0.1=0
h=0.01　　なら　0/h=0/0.01=0
0,0,0,・・・
f'(x)= 0

お礼

ありがとうございます。

hが0以外なら傾きが0になりますが、仮にhが限りなく0に近づいたとしても傾きは0になるので、f(x)=2という式を微分するのに問題はないということが理解できました。

回答No.1

Tacosan

本気でやるなら極限の定義から始めないといけないんだけど, 高校ではたぶん出てこないんだよね....

というわけで以下はごまかしの説明.

lim[h→0] は「h を 0 に近づけていったときにどのような値に近づいていくか」ということ. 例えば (2)式の
lim[h→0](3x^2+3xh+h^2)
は「h を 0 に近づけていったときに 3x^2+3xh+h^2 はどのような値に近づいていくか」ということで, 3x^2 以外の項は 0 に近づいていくので結局 3x^2 だけが生き残る. 気になるなら「h を変数として」3x^2+3xh+h^2 のグラフを書き, その上で h を 0 に近づけてみればいい.

注意しなきゃならないのは, 間違っても「h を 0 にする」などと考えてはならないという点. 極限というのはあくまで「0 に近づける」だけであって「0 にする」こととは違う.

ところで, (2)式では [f(x+h)-f(x)]/h を約分してるのに, なんで (1)式では約分しないんでしょうか?

お礼

ありがとうございます。

(2)に関してはやはり０に近づくという考え方が正しいようですね。

(1)は分母にhが残っている場合どうなるのでしょうか？という部分に焦点を当てたもので・・・と言いたい所ですが0にはならないそうなので約分できますね！