高校3年生。

質問

高校3年生。
関数の極限に関して質問させてください。
例えば、こんな問題です。
f(x)=2x^2-1/(x-1)^2のx→1の時の極限

x→1のとき、分子=2x^2-1→1　　分母=(x-1)^2→+0　　よって、x→1のときf(x)→+∞

この問題について聞きたいんですが、この、分子の関数と分母の関数はx→１に限りなく近づくにつれて、別々の値に向うから収束しないつまり、発散するという解釈でいいですか？
反射的に、分母が０になったので、どう考えたらいいのか、息詰まりました。
分子と分母をそれぞれ別の関数として、2つの関数がそれぞれどこに向かうかでf(x)の極値が決まると考えればいいんでしょうか？
あまり、適切でない言葉を使用しているとしたら申し訳ございません。
お忙しい中申し訳ありませんが、何とぞよろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

＞分子の関数と分母の関数はx→１に限りなく近づくにつれて、別々の値に向うから収束しないつまり、発散するという解釈でいいですか？
これはいけないと思います。
いまの問題は x→ 1で発散しますが、これは単に分母が 0に近づくことによるものです。
（分子が有限の値なので、(なんとか)/0の形となって発散するということです。）

関数の極限を考えるときには、グラフを描くイメージをもっておくのがいいと思います。

そうすると、左極限：lim[x→ 1-0]、右極限：lim[x→ 1+0]を考えないといけないことも見えてくると思います。

たとえば、f(x)＝ 1/(x-1)の x→ 1における極限を考えるとき
・左極限は、lim[x→ 1-0] 1/(x-1)＝ -∞
・左極限は、lim[x→ 1+0] 1/(x-1)＝ +∞

と単に「発散する」としても、違った結果になります。

お礼

いろいろとありがとうございました。
お礼が遅れて申し訳ないです。
またよろしくお願いします。

回答No.2

noname#113983

「分子の関数と分母の関数はx→１に限りなく近づくにつれて、別々の値に向うから収束しないつまり、発散するという解釈でいいですか？」・・・・
ダメデス！！ドウカンガエタッテ2x/xヲx→1ニシテモシュウソクスルダロウガ。
「分子と分母をそれぞれ別の関数として、2つの関数がそれぞれどこに向かうかでf(x)の極値が決まると考えればいいんでしょうか？」
ソモソモキョクチハドコカラデテキタ？
ソレヨリモ分子→1 分母→0ナラバイズレモプラスマイナスドッチカノ∞ニ、フットブ(マウンテイン)！

お礼

解説ありがとうございます。
なんか、とっても面白い気分になれました。